中考数学二轮精品专题复习 专题35 双变量恒成立与能成立问题概述(原卷版)

专题35　双变量恒成立与能成立问题概述

【方法总结】

1．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略

(1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围．

(2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位．

2．常见的双变量恒成立能成立问题的类型

(1)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max．(如图1)

(2)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2) min．(如图2)

(3)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min．(如图3)

(4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4)

(5)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4)

(6)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f (x)的值域与g(x)的值域的交集非空．(如图5)

考点一　双任意与双存在不等问题

(1)f(x)，g(x)是在闭区间D上的连续函数且∀x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)min＞g(x)max．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值均大于函数y＝g(x)的任意一个函数值．如图⑤．

(2)存在x1，x2∈D，使得f(x1)＞g(x2)，等价于f(x)max＞g(x)min．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的某一个函数值大于函数y＝g(x)的某些函数值．如图⑥．

【例题选讲】

[例1]　已知函数f(x)＝＋aln x，其中参数a<0．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围．

[例2]　已知函数f (x)＝lnx－mx，g(x)＝x－(a>0)．

(1)求函数f (x)的单调区间；

(2)若m＝，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f (x2)成立，求实数a的取值范围．

[例3]　已知f(x)＝x＋(a＞0)，g(x)＝x＋lnx．

(1)若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围；

(2)若存在x1，x2∈[1，e]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

[例4]　设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．

(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

考点二　存在与任意嵌套不等问题

(1)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值．如图⑦．

(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f(x1)＜g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于g(x)在D2上的最大值，即f(x)max＜g(x)max．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值．如图⑧．

【例题选讲】

[例5]　设函数f(x)＝(a∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线过点M(2，3)，求a的值；

(2)设g(x)＝x＋－，若对任意的n∈[0，2]，存在m∈[0，2]，使得f(m)≥g(n)成立，求a的取值范围．

[例6]　已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R且a<e)，g(x)＝x2＋ex－xex．

(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；

(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．

考点三　双任意与存在相等问题

(1)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠∅，如图⑨．其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图⑨　　　　　　　图⑩

(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)等价于函数f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A⊆B，如图⑩．其等价转化的目标是函数y＝f(x)的值域都在函数y＝g(x)的值域之中．

说明：图⑨，图⑩中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y轴上的投影．

【例题选讲】

[例7]　已知函数f(x)＝ax－lnx＋x2．

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；

(2)若a＝1，∀x1∈(1，2)，∃x2∈(1，2)，使得f(x1)－x＝mx2－mx(m≠0)，求实数m的取值范围．

[例8]　已知函数f(x)＝alnx－x＋2，a∈R．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＝4，求实数a的值．

[例9]　已知函数f (x)＝lnx－x，g(x)＝mx3－mx(m≠0)．

(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)若对任意的x1∈(1，2)，总存在x2∈(1，2)，使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围．

[例10]　已知函数f(x)＝(1－x)ex－1．

(1)求f(x)的极值；

(2)设g(x)＝(x－t)2＋2，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的最小值．

[例11]　已知函数f(x)＝x2－ax3，a＞0，x∈R，g(x)＝．

(1)若∃x1∈(－∞，－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围；

(2)当a＝时，求证：对任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)．