中考数学二轮精品专题复习 专题33 单变量不等式能成立之参变分离法(原卷版)

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专题33　单变量不等式能成立之参变分离法【方法总结】单变量不等式能成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，则a≤g(x)max．利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围．注意　“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【例题选讲】[例1]　已知函数f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若∃x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求参数a的取值范围．   [例2]　已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，求a的取值范围．   [例3]　已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x．(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围． [例4]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．(1)若y＝f(x)在点(0，0)处的切线为x－3y＝0，求a的值；(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求实数a的取值范围．     [例5]　已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)①若存在实数x，满足f(x)<0，求实数a的取值范围；②若有且只有唯一整数x0，满足f(x0)<0，求实数a的取值范围．     [例6]　已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．(1)求证：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．     【对点精练】1．已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，g(x)＝－2alnx－，其中a∈R．(1)当a>0时，求f(x)的单调区间；(2)若存在x∈[，e2 ] ，使得不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．      2．已知函数f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值．    3．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R)．(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．     4．已知函数f(x)＝a＋blnx(其中a，b∈R)．(1)当b＝－4时，若f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；(2)当a＝－1时，是否存在实数b，使得当x∈时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，请说明理由．     5．已知函数f(x)＝，其中a为实数．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使得对任意x∈(0，1)∪(1，＋∞)，f(x)＞恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明．     6．已知函数f(x)＝lna2x－2＋alna．(1)求证：f(x)≤a2－3；(2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于x∈(0，＋∞)恒有：f(x)≤ea＋k，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由．(下表的近似值供参考)ln 2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln 8ln 90．691．101．381．611．791．952．072．20      7．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝，直线l：y＝(k－3)x－k＋2．(1)曲线y＝f(x)在x＝e处的切线与直线l平行，求实数k的值；(2)若至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围；(3)设k∈Z，当x＞1时，函数f(x)的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．