中考数学二轮精品专题复习 专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题（解析版）

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专题37　讨论函数零点或方程根的个数问题
【方法总结】
判断、证明或讨论函数零点个数的方法
利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，解得x>ln 2a；令H′(x)0，得00，h′(x)min＝h′(ln 2a)0使得h′(x1)＝0，
这时h(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．
所以h(x1)0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增．
而当x→0时，p(x)→ x→0＝ x→0＝ x→0＝ x→0＝(洛必达法则)，
当x→－∞时，p(x)→ x→－∞＝ x→－∞＝0，

故函数p(x)的图象如图所示．作出直线y＝a．
显然，当a＝时，直线y＝a与函数p(x)的图象无交点，即方程ex－ax2－x－1＝0只有一个解x＝0；
当a≠且a>0时，直线y＝a与函数p(x)的图象有一个交点(x0，a)，
即方程ex－ax2－x－1＝0有两个解x＝0或x＝x0．
综上，当a＝时，方程f (x)＝1只有一个解；当a≠且a>0时，方程f (x)＝1有两个解．
[注]　部分题型利用分离法处理时，会出现“”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．
法则1　若函数f (x)和g(x)满足下列条件：
(1)lif (x)＝0及lig(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f (x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)li ＝l．
那么li ＝li ＝l．
法则2　若函数f (x)和g(x)满足下列条件：
(1)lif (x)＝∞及lig(x)＝∞；(2)在点a的去心邻域内，f (x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)li ＝l．
那么li ＝li ＝l．
[题后悟通]　对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．
[例2]　设函数f(x)＝－kln x，k>0．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[规范解答]　 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－kln x(k>0)，得f′(x)＝x－＝．
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘

↗
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝．
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点；
当k>e时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f(1)＝>0，f()＝0时，由f′(x)>0，得0