中考数学二轮精品专题复习 专题32　单变量恒成立端点效应非单验悖(解析版)

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专题32　单变量恒成立之端点效应非单验悖
考点一　单变量恒成立端点效应非单验悖之含端点
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝e－x－ax(x∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
思路　(1)先判断f(x)的单调性，再求最小值，(2)端点值等于临界值，令F(x)＝f(x－1)－ax＋x2＝(x－1)ln(x－1)＋x2－ax(x≥2)，F(2)＝0，所以用“端点效应＋非单验悖”解决．
解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－＋1＝．令f′(x)＝0，得x＝0
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0．
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
所以当x＝0时，函数f(x)取得最小值，且最小值为f(0)＝1.
(2)因为x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，即ex＋ax＋ln(x＋1)－1≥0.(*)
令g(x)＝ex＋ax＋ln(x＋1)－1，则
又g″(x)＝ex－≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以g′(x)＝ex＋＋a在[0，＋∞)上单调递增．
①若a≥－2，则当且仅当x＝0，a＝－2时取等号，
所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，有g(x)≥g(0)＝0，(*)式恒成立．
②若a＜－2，由于g′(0)＝2＋a＜0，x→＋∞时，g′(x)→＋∞，
所以必存在唯一的x0∈(0，＋∞)，使得g′(x0)＝0，
当0＜x＜x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
所以当x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)＝0，(*)式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[－2，＋∞)．
悟通　考虑端点值，直入问题本质，抓住端点值展开讨论．分析端点值，明确函数图象走势．
[例2]　已知函数f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．
(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；
(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2－x－1，
∴f′(x)＝ex－x－1，令u(x)＝ex－x－1，则u′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，
故f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，从而原不等式得证．
(2)∵f(x)＋g(x)＝ex＋cos x－ax－2，
令h(x)＝ex＋cos x－ax－2，则h′(x)＝ex－sin x－a，
令t(x)＝ex－sin x－a，则t′(x)＝ex－cos x，∵ex≥1，－1≤cos x≤1，故t′(x)≥0，
∴h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴h′(x)≥h′(0)＝1－a，
①当1－a≥0，即a≤1时，h′(x)≥0，故h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，满足题意；
②当1－a1时，∵h′(0)0，当x→＋∞时，h′(x)→－∞，则必存在x0∈(0，＋∞)，使h′(x0)＝0，
则当x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)在(0，x0)上是增函数，此时h(x)>h(0)＝0，
即当x∈(0，x0)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上是增函数，∴g(x)>g(0)＝0，即f(x)>ex，不符合题意．
综合①②，得a≤，即实数a的取值范围为．
【对点训练】
1．(2017·全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
1．解析　(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1±，
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)＜0．
所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增．
(2)令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0．
g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，g′(0)＝1－a，
又g′′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，g′′(x)＜0，g′(x)在[0，＋∞)上单调递减，
①当1－a≤0时，即a≥1，则g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以g(x) ≤g(0)＝0．
②当1－a>0时，即a0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)g(0)＝0，(*)式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．
2．已知点P，Q(x，mx＋sin x)(m∈R)，O为坐标原点，设函数f(x)＝·．
(1)当m＝－2时，判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)当x≥0时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数m的取值范围．
2．解析　(1)f(x)＝·＝·(x，mx＋sin x)＝ex＋mx＋sin x，
当m＝－2时，f(x)＝ex－2x＋sin x，f′(x)＝ex－2＋cos x，
当x0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝m＋2，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(x)>m＋2．
①当m≥－2时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>1恒成立．
②当m