中考数学二轮精品专题复习 专题33 单变量不等式能成立之参变分离法(解析版)

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专题33　单变量不等式能成立之参变分离法
【方法总结】
单变量不等式能成立之参变分离法
参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，则a≤g(x)max．
利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．
(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．
(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围．
注意　“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．
(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；
(2)若∃x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求参数a的取值范围．
解析　(1)由题意得，f′(x)＝－x＋1，设切点为(x0，f(x0))，则k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，
解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切点为，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－．
(2)设h(x)＝3ln x－x2－2x，∃x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，等价于∃x>0，使h(x)＝3ln x－x2－2x>a成立，
等价于a0)．
因为h′(x)＝－x－2＝＝－，令得00，当x∈(，＋∞)时，h′(x)0)，则F′(x)＝(x>0)，
∴当0F(1)＝1>0，∴a≥．记G(x)＝，x∈[，e]，
则G′(x)＝＝．
∵x∈[，e]，∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，∴x－2ln x＋2>0，
∴当x∈时，G′(x)0，G(x)单调递增．
∴G(x)min＝G(1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
[例4]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．
(1)若y＝f(x)在点(0，0)处的切线为x－3y＝0，求a的值；
(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求实数a的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝－acos x，则f′(0)＝1－a＝，所以a＝．
(2)将不等式转化为存在x∈[1，2]，使得a≤．
令函数g(x)＝，则g′(x)＝，
令函数h(x)＝2＋sin x－(1＋x)cos xln(1＋x)，x∈[1，2]，
当x∈时，h(x)>0；当x∈时，h(x)>2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，
令函数φ(x)＝2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，则φ′(x)＝cos x－ln(1＋x)－13－>0，则当x∈时，h(x)>φ(x)>0，
故函数g(x)在[1，2]上单调递增，g(x)max＝g(2)＝，
则当a≤时，存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a．
所以，实数a的取值范围是．
[例5]　已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)①若存在实数x，满足f(x)