初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形巩固练习

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形巩固练习，文件包含八年级数学上册期中难点特训一全等三角形与等腰边相结合的压轴题原卷版docx、八年级数学上册期中难点特训一全等三角形与等腰边相结合的压轴题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。


期中难点特训（一）全等三角形与等腰（边）相结合的压轴题
1．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)、、

【分析】（1）根据等边三角形的性质以及角度的计算可得，，，进而即可证明；
（2）由是等边三角形，可得，证明，可得，根据即可求解；
（3）根据题意分类讨论①，②，③，根据等边对等角，列一元一次方程解方程求解即可．
(1)
和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中
，
；
(2)
是直角三角形．
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
是直角三角形；
(3)
，，，，
①当时，，
，
；
②当时，，
，
；
③当时，，
，
．
所以，当为、、时，是等腰三角形．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．
2．在中，，点是射线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

（1）如图1，当点在线段上，且时，那么______度．
（2）设，．
①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的量关系 （不需证明）．
【答案】（1）90；（2）① ．证明见解析；② ．
【分析】（1）先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①先证得∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为 90．.
（2）①
证明：∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
② 图形如下，

∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，
∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
故答案为α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
3．如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．

(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；
(3)连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？
【答案】(1)见解析；
(2)∠QMC的大小不发生变化，∠QMC=60°；
(3)秒或秒

【分析】（1）利用等边三角形的性质根据SAS证明；
（2）利用全等三角形的性质证明即可；
（3）设点P，Q运动t秒时，分两种情况：①当∠PQB=90°时，由BP=2BQ，即4-t=2t，解得t；②当∠QPB=90°时，由BQ=2BP，即2(4-t)=t，解得t．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
(2)
解：∠QMC的大小不发生变化，理由如下：
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°，
∴∠AMP=180°-(∠BAQ+∠APC)=180°-(∠ACP+∠APC)=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
(3)
解：设点P，Q运动t秒时，△PBQ是直角三角形，
分两种情况：
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，即4-t=2t，
解得t=；
②当∠QPB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，即2(4-t)=t，
解得t=；
综上，点P，Q运动秒或秒时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键，题中还考查了分类思想解决问题．
4．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短

【答案】（1）①；②见解析；（2）时，线段OP最短
【分析】（1）①过点作轴于点，证明，进而得出答案；
②根据D为BC中点，求出点的坐标，然后分析坐标即可得出答案；
（2）作交于点，连接,过点作交延长线于点，证明，进而得出，然后根据点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，计算即可．
【详解】解：（1）①∵,
∴为等腰直角三角形，
过点作轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵A（3，0），点B（0，1），
∴，
∴点；
②∵点，点，
∴的中点的坐标为，
即，
过点作轴与轴交于点，

则可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴OD平分∠AOB；
（2）作交于点，
连接,过点作
交延长线于点，

∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，
此时．
【点睛】本题考查了旋转综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质定理以及判定定理是解本题的关键．
5．等边△ABC在平面直角坐标系中如图1所示，点B，C在x轴上，点A在y轴正半轴上．
（1）如图1，若P为AB的中点，连接PC交y轴于点D，问线段AD与PD有何数量关系，并说明理由；
（2）将图1中的△ADC绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180°），点A的对应点为点E，P为EB的中点．
①若将△ADC旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
②若点C坐标为（2，0），请求出在将△ADC旋转过程中，DP取最小值时点E的坐标．

【答案】（1），理由见解析；（2）①结论成立，证明见解析；②E（2，4）．
【分析】（1）结论：AD=2PD．证明∠PAD=30°，可得结论；
（2）①结论成立．如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT=PD，连接BT，AT，设DR交AC于点W．证明△ADT是等边三角形，可得结论．
②因为△APD是含有30°的直角三角形，所以当PA的值最小时，PD的值最小，由PA≥OA-OP≥2-2，推出当点P落在线段OA上时，PA的值最小，延长可得结论．
【详解】解：（1）结论：AD＝2PD．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠CAB＝×60°＝30°，
∵AP＝PB，
∴CP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴AD＝2PD；
（2）①结论成立．
理由：如图2中，延长ED交AB于点R，延长DP到T，使得PT＝PD，连接BT，AT，设DR交AC于点W．
在△EPD和△BPT中，
，
∴△EPD≌△BPT（SAS），
∴∠DEP＝∠TBP，BT＝DE，
∵DE＝CD，
∴BT＝CD，
∴∠ARD＝∠ABT，
∵∠CDE＝120°，
∴∠CDR＝60°，
∵∠RAW＝60°，
∴∠RAW＝∠CDW＝60°，
∵∠AWR＝∠CWD，
∴∠ARW＝∠ACD，
∴∠ABT＝∠ACD，
在△TBA和△DCA中，
，
∴△TBA≌△DCA（SAS），
∴AT＝AD，∠BAT＝∠CAD，
∴∠TAD＝∠BAC＝60°，
∴△ADT是等边三角形，
∵PD＝PT，
∴AP⊥DT，∠PAD＝∠DAT＝30°，
∴AD＝2PD；
②如图2中，连接OP，

∵C（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴CE＝AC＝BC＝4，OA＝2，
∵BP＝PE，OB＝OC，
∴OP＝EC＝2，
∵△APD是含有30°的直角三角形，
∴当PA的值最小时，PD的值最小，
∵PA≥OA﹣OP≥2﹣2，
∴当点P落在线段OA上时，PA的值最小，此时E（2，4）．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．如图①，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（m，2），B（0，n），其中m、n满足n＝+4．
（1）试判断△OAB的形状，并说明理由；
（2）若点D为线段OB上一动点．
①如图②，以AD为边向右作等腰Rt△ADG，且DA＝DG，设点G的坐标为（x，y），试用关于x的代数式表示y；
②如图③，过B点作BF⊥AD于E，交OA于F，且∠AFB＝45°+∠FAE，试问代数式的值是否为定值？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．

【答案】（1）等腰直角三角形；理由见解析；（2）①y=x-4；（2）是定值，2
【分析】（1）根据算术平方根的性质求出m的值，得到点A，B的坐标，再求出AO，BO，OB的长，根据勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）①分D在OF和BF上，根据全等三角形的性质求解即可；
②根据等腰直角三角形的性质求出AE和BE，代入求值即可．
【详解】解：（1）∵与有意义
∴
∴
∴
∴n＝+4=4．
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，且；
（2）①作AF⊥OB于F，
由（1）知，
过G作GE⊥OB于E，

∴
当D在OF上时，
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴△
∴
∴
∵
∴；
当点D在BF上时，

∴∠
∵∠
∴∠
∵
∴△
∴
∴
∴
综上，
②在BF上截取EG=AE，在AE上截取EH=EF，连接AG，FH

∴为等腰直角三角形，
∴
∵∠
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴
∴
∴
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点 A 在 x轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，∠ ABC= 90° ，  BC=AB ．

（1）如图 1， A （﹣5，0）， B （0，﹣2），点C在第一象限，请直接写出 C 的坐标；
（2）如图 1，  B （0，﹣2）， BF⊥y 轴，D在y轴上， BD = AO，连接CD 并延长交BF 于点 E ，请求出 BE 的长度；
（3）如图2，A （﹣n， 0），H在AC 延长线上，过H （m，n ）作HG ⊥ x 轴于G，探究线段BH、AG、BO之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1） 点C 的坐标（2，3）；（2）BE= 2；（3）AG=BH+BO．证明见解析．
【分析】（1）过点C作CR⊥y轴于R．证明△AOB≌△BRC（AAS），即可解决问题；
（2）再证△BDE≌△RDC，得BE=CR=BO=2；
（3）在OG上取点M使得MG=OB，连接HM并延长交AB延长线于点N，先证△ABO≌△HMG（SAS），再证△AHN为等腰RT△，再证△ABH≌△HMA（SAS）得AM=BH，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图1过点C作CR⊥y轴于R．

∵点A（-5，0），点B（0，-2），
∴OA=5，OB=2，
∵∠AOB=∠ABC=∠CHB=90°，
∴∠ABO+∠CBR=90°，∠CBR+∠BCR=90°，
∴∠ABO=∠BCR，
∵AB=BC，
∴△AOB≌△BRC（AAS），
∴BR=AO=5，CR=OB=2，
∴OR=BR-OB=3，
∴C（2，3）．
故答案为：（2，3）．
（2）由（1）得CR=BO=2，BR=AO
∵BD=AO
∴BD=BR
∴BD=RD
∵BF⊥y轴，
∴
又
∴△BDE≌△RDC
∴BE=OB=2
（3）AG=BH+BO
证明：在OG上取点M使得MG=OB，连接HM并延长交AB延长线于点N

∵，,MG=OB，
∴△ABO≌△HMG（SAS）
∴，
又
∴
∵∠ABC=90°，BC=AB．
∴
∴△AHN为等腰直角三角形
∵
∴△ABH≌△HMA（SAS）
∴AM=BH
∴AG=AM+MG=BH+BO．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．

（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论；
（2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
过点作轴于点，

∵为等腰直角三角形，
∴，
∴,
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴,
∴，
∴点C的坐标是；
（2）证明：过点E作轴于点M，依题意有，

∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又，即，
∴，
∴，
即，又，设与相交于点N，
∴在和中，
，，
∴；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，

则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵，,，
∴,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt△DAH和Rt△DAK中，
，
∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）
∴AK＝AH＝a−2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．
9．平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣4，0），点C为x轴上的点，且△ABC的面积为2．

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，若点C在点B的右侧，连AC并延长至点D，使得DO＝AO，过点B作BE∥y轴交OD的延长线于点E，求OE﹣BE的值；
（3）如图3，若点C在点B的右侧，点P为y轴上一点，CP为腰作等腰△CPQ，其中PC＝PQ，且∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），AC＝5，连接OQ，求线段OQ的最小值．
【答案】（1）点C的坐标为（﹣3，0）或（﹣5，0）；（2）OE﹣BE＝3；（3）OQ的最小值为．
【分析】（1）利用△ABC的面积＝BC•OA＝×|m+4|×4＝2，即可求解；
（2）过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，证明△COD≌△GOA，得到KA＝KG，则OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3；
（3）延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，证明△MPC≌△APQ，则ON＝OC＝3，AN＝AC＝5，在Rt△AON中，设AN边长的高为h，则S△AON＝×AO•ON＝AN•h，即可求解；
【详解】解：（1）设点C(m，0)，
则△ABC的面积＝BC•OA＝×|m+4|×4＝2，
解得m＝﹣3或﹣5，
故点C的坐标为(﹣3，0)或(﹣5，0)；
（2）如图2，过点A作AK⊥y轴，使AK＝BE，连接OK交AE于点G，

∴∠OAK＝∠OBE＝90°，
∵AO＝OB＝4，
∴△AOK≌△BOE（SAS），
∴∠AOG＝∠COD，OK＝OE，
∵AO＝DO，故∠CDO＝∠GAO，
在△GAO和△COD中，
，
∴△COD≌△GOA（AAS），
∴OC＝OG，则∠OCG＝∠OGC，
而∠KAG＝∠OCG，∠KGA＝∠OGC，
∴∠KAG＝∠KGA，
∴KA＝KG，
∴OE﹣BE＝OK﹣AK＝OK﹣KG＝OG＝OC＝3；
（3）在Rt△AOC中，AC＝5，AO＝4，则OC＝3．
如图3，延长AC至M，使AP＝PM，连接AQ交x轴于点N，

在△AOC中，∠CAO＝90°﹣∠ACO＝90°﹣α＝∠MAP，
∵AP＝MP，则∠M＝∠MAP＝90°﹣α，
在等腰△APM中，∠APM＝∠MPC+∠CPO＝180°﹣2∠M＝2α，
而∠CPQ＝∠CPO+∠APQ＝2α，
∴∠APQ＝∠MPC，
∵AP＝PM，CP＝PQ，
∴△MPC≌△APQ（SAS），
∴∠M＝∠PAQ＝∠CAO，
又∵AO＝AO，∠AOC＝∠AON＝90°，
∴△AOC≌△AON（AAS），
∴ON＝OC＝3，AN＝AC＝5，
在Rt△AON中，设AN边长的高为h，
则S△AON＝×AO•ON＝AN•h，
即3×4＝5h，解得h＝ ，
即OQ的最小值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的问题，作辅助线形成全等三角形是本题解题的难点和关键；
10．如图，在等边中，是直线上一点，是边上一动点，以为边作等边，连接．（提示：含的直角三角形三边之比为）

（1）如图1，若点在边上，求证：；
（2）如图2，若点在的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）图2中，若，点从运动到停止，求出此过程中点运动的路径长．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）在上截取，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论；
（2）过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出；
（3）当点与重合时，的值最小，最小值，当时，的值最大，最大值，当点与重合时，的值最小，最小值，点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，由此可得结论．
【详解】解：（1）证明：在上截取，如图1所示：

是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）线段，与之间的等量关系是．理由如下：
是等边三角形，
，
过作，交的延长线于点，如图2所示：

，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）由（2），
则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，
∴CF与BC的夹角不变，即点F的运动路径为线段，
当点与重合时，的值最小，最小值，
当时，∵EF=DF，
∴CF垂直平分ED，
∴∠CFE=30°，
∴∠CEF=90°，
∵EF=ED=AC=，
∴CF==4，
∴的最大值为4，
当点与重合时，的值最小，最小值，
点的运动路径从最小值增大到4，再减小到，
此过程中点运动的路径长．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
11．如图，点，，且a、b满足．

（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）CD＝BD+AC，证明见解析；（3）BQ是定值，且BQ=2
【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝1，b＝1，进而可得OA与OB的长，进一步可求出结果；
（2）易得△OAB是等腰直角三角形，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，如图2，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用SAS证明△ODF≌△ODC，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，连接PD，如图3，易证∠PAB＝∠PDE＝135°，根据余角的性质可得∠BPA＝∠PED，进而可根据AAS推出△PBA≌△EPD，可得AP＝ED，从而可得FE＝FA，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】解：（1）∵（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝1，OB＝1，
∴△AOB的面积＝×1×1＝；
（2）线段AC、BD、CD之间的数量关系为CD＝BD+AC；
证明：∵OA＝OB＝1，∴∠OAB=∠OBA=45°，
将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，如图2，
则∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠FOB＝∠AOC，OF=OC，BF=AC，
∵∠DBA＝90°，∴∠DBF＝180°，即B、D、F三点共线，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠DOC，
在△ODF与△ODC中，，
∴△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，
∴DF＝BD+BF＝BD+AC；
即CD＝BD+AC；

（3）BQ是定值，且BQ=2；
作EF⊥OA于F，在FE上截取FD＝PF，连接PD，如图3，则∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∵∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，即FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝1，
∴BQ＝2，即BQ是定值．

【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，属于中考压轴题，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
12．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．

【答案】（1）2；（2）CD＝BD+AC，证明见解析；（3）KE＝BK+EA或EA＝BK+KE，证明见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的性质得到a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到结果；
（2）先判断出，进而判断出，得出OD=OE，BD=AE，进而判断出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出结论；
（3）分五种情况，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意可得：a＝2，b＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
∴，
（2）CD＝BD+AC，过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E，

∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOE，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠OAE＝∠OBD＝135°，
在△OBD和△OAE中，
，
∴△OBD≌△OAE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝AE，
∴BD+AC＝AC+AE＝CE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE＝BD+AC；
（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，
∴∠EFK＝45°，
①当E在A右侧时，K不在y轴正半轴上，不合题意；
②当E在A上时，K与O重合，不合题意；
③当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE交y轴于点M，连接FB，FA，

∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴，
∵∠FBO＝∠FAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形，
∵OA＝OB，
∴矩形AOBF是正方形，
∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，
∵FM⊥FE，
∴∠EFM＝90°，
∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，
∴∠MFB＝∠EFA，
在△MFB与△EFA中，
，
∴△MFB≌△EFA（ASA），
∴MB＝EA，MF＝EF，
∵∠KFE＝45°，
∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，
在△KFM和△KFE中，
，
∴△KFM≌△KFE（SAS），
∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，
即KE＝BK+EA；
④当E在O上时，BK＝0，KE＝EA＝2，
也满足KE＝BK+EA；
⑤当E在O左侧时，同理可证，△BFM≌△AFE（ASA），

∴EA＝MB，
同理可证△KFM≌△KFE（SAS），
∴MK＝KE，
∴EA＝BK+KE，
综上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．
【点睛】此题考查几何变换的综合题，解题的关键是构造全等三角形，根据全等三角形的判定和性质解答．
13．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段BC上，以AD为边作等腰直角三角形DAE，AD＝AE，∠DAE＝90°，过点E作EF⊥AC．

（1）求证：△AEF≌△DAC；
（2）如图2，连接BE，BE交AC点G，若BD＝2CD，求的值；
（3）如图3，过点D作DP⊥AD交AB于点P，过点E作AE的垂线交AC的延长线于点H．连接PH，当点D在线段BC上运动时（不与点B，C重合），式子的值是否发生变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）=2；（3）的值不变，=1．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DAC；
（2）由“AAS”可证△EFG≌△BCG，可得CG=GF=CF，即可求解；
（3）在EH上截取EG=DP，连接AG，由“SAS”可证△AEG≌△ADP，可得AG=AP，∠EAG=∠DAP，由“SAS”可证△GAH≌△PAH，可得PH=GH，即可求解．
【详解】证明：（1）∵EF⊥AC，
∴∠EFA=∠ACB=90°=∠EAD，
∴∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEF，
又∵AE=AD，
∴△AEF≌△DAC（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DAC，
∴AF=CD，EF=AC，
∵AC=BC，
∴EF=BC，
又∵∠EFG=∠ACB=90°，∠EGF=∠BGC，
∴△EFG≌△BCG（AAS），
∴CG=GF=CF，
∵AC=BC，AF=CD，
∴CF=BD，
∵BD=CF=2CG，
∴=2；
（3）的值不变，
理由如下：如图3，在EH上截取EG=DP，连接AG，

∵AE⊥EH，AD⊥DP，
∴∠AEG=∠ADP=90°，
又∵AE=AD，EG=DP，
∴△AEG≌△ADP（SAS），
∴AG=AP，∠EAG=∠DAP，
∵∠GAD+∠EAG=∠GAD+∠DAP=∠GAP=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠GAH=∠CAB=45°，
又∵AH=AH，GA=AP，
∴△GAH≌△PAH（SAS），
∴PH=GH，
∴EH-PH=EH-GH=EG=DP，
∴HE-DP=HP，
∴=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．