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广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第一课时函数的极值课件新人教版选择性必修第二册
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这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第一课时函数的极值课件新人教版选择性必修第二册,共48页。
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练 素养•目标定位目 标 素 养1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,提升数学抽象核心素养.2.掌握函数极值的求法,掌握函数在某一点取得极值的条件,提升数学抽象、数学运算核心素养.3.能根据极值点与极值的情况求参数取值范围.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题,提升逻辑推理核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.函数极值、极值点的概念如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 .类似地,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 .我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为 极值点 ,极小值和极大值统称为 极值 .微思考1 导数为0的点一定是极值点吗?提示:不一定,如f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.故当f'(x0)=0时,要判断x=x0是否为f(x)的极值点,还要看f'(x)在x0两侧的符号是否相反.微训练1 下列函数存在极值的是( )A.y=B.y=x-exC.y=2 D.y=x3答案:B2.函数极值的求法求函数y=f(x)的极值的方法解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值 ; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值 . 微思考2 函数的极值与单调性有什么联系?提示:极值点两侧单调性必须相反,要研究函数的极值,需先研究函数的单调性.答案:D 课堂·重难突破一 不含参数的函数求极值典例剖析1.求下列函数的极值:解:(1)函数f(x)的定义域为R, 令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.规律总结 求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域;(2)求方程f'(x)=0的根;(3)用方程f'(x)=0的根将函数的定义域划分为若干个开区间,并列出表格;(4)由f'(x)在f'(x)=0的根的左右的符号,判断f(x)在这个根处取极值的情况.学以致用1.求下列函数的极值:(1)f(x)= x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且极小值为f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且极大值为f(2)=4e-2.二 含参数的函数求极值典例剖析2.已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.解:∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a).规律总结 求含参数函数的极值的注意事项(1)分类讨论:根据参数的范围,确定讨论的界点,讨论函数的单调性;(2)在某区间内的单调函数不存在极值.学以致用2.若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.三 由极值求参数的值或取值范围3.(1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于( )A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3(2)若函数f(x)= x2+(a-1)x-aln x没有极值,则( )A.a=-1 B.a≥0C.a<-1 D.-10,得x<2或x>6;由f'(x)<0,得20,即a<-2或a>2.规律总结 利用导数求方程根的个数的步骤(1)利用导数判断函数的单调性;(2)研究函数的极值情况;(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象;(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点个数或两个图象的交点的个数.若含有参数,则需要讨论极值的正负.学以致用4.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.随堂训练1.已知函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点答案:C解析:设y=f'(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.2.(多选题)下列四个函数中,在x=0处取得极值的函数是( )A.y=x5 B.y=x2+1C.y=x4 D.y=2x答案:BC解析:对于A,∵y'=5x4≥0,∴y=x5在R内单调递增,无极值;对于B,∵y'=2x,y'|x=0=0,当x>0时,y'>0,当x<0时,y'<0,∴x=0为极值点;对于C,∵y'=4x3,y'|x=0=0,当x>0时,y'>0,当x<0时,y'<0,∴x=0为极值点;对于D,y=2x单调递增,无极值.故选BC.3.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( )A.(-1,2) B.(-3,6)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)答案:D解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6.因为函数f(x)既有极大值又有极小值,所以Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.4.函数f(x)=ax-1-ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 . 答案:05.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x= 是函数f(x)的极值点,则a+b= . 答案:-2解析:f'(x)=3x2+2ax+b,6.已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值 .(1)求a,b的值;(2)判断f(x)的单调区间,并求极值.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练 素养•目标定位目 标 素 养1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,提升数学抽象核心素养.2.掌握函数极值的求法,掌握函数在某一点取得极值的条件,提升数学抽象、数学运算核心素养.3.能根据极值点与极值的情况求参数取值范围.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题,提升逻辑推理核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.函数极值、极值点的概念如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f'(x)<0 ,右侧 f'(x)>0 .类似地,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f'(x)>0 ,右侧 f'(x)<0 .我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为 极值点 ,极小值和极大值统称为 极值 .微思考1 导数为0的点一定是极值点吗?提示:不一定,如f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.故当f'(x0)=0时,要判断x=x0是否为f(x)的极值点,还要看f'(x)在x0两侧的符号是否相反.微训练1 下列函数存在极值的是( )A.y=B.y=x-exC.y=2 D.y=x3答案:B2.函数极值的求法求函数y=f(x)的极值的方法解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值 ; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值 . 微思考2 函数的极值与单调性有什么联系?提示:极值点两侧单调性必须相反,要研究函数的极值,需先研究函数的单调性.答案:D 课堂·重难突破一 不含参数的函数求极值典例剖析1.求下列函数的极值:解:(1)函数f(x)的定义域为R, 令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.规律总结 求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域;(2)求方程f'(x)=0的根;(3)用方程f'(x)=0的根将函数的定义域划分为若干个开区间,并列出表格;(4)由f'(x)在f'(x)=0的根的左右的符号,判断f(x)在这个根处取极值的情况.学以致用1.求下列函数的极值:(1)f(x)= x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且极小值为f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且极大值为f(2)=4e-2.二 含参数的函数求极值典例剖析2.已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.解:∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a).规律总结 求含参数函数的极值的注意事项(1)分类讨论:根据参数的范围,确定讨论的界点,讨论函数的单调性;(2)在某区间内的单调函数不存在极值.学以致用2.若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.三 由极值求参数的值或取值范围3.(1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于( )A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3(2)若函数f(x)= x2+(a-1)x-aln x没有极值,则( )A.a=-1 B.a≥0C.a<-1 D.-10,得x<2或x>6;由f'(x)<0,得2
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