广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.1基本初等函数的导数训练提升新人教版选择性必修第二册

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5.2　导数的运算5.2.1　基本初等函数的导数课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列各式中正确的是(　　)A.(x7)'=7x6 B.(x-1)'=x-2C.(cos x)'=-sin x D.(cos 2)'=-sin 2答案:AC解析:B中(x-1)'=-x-2,D中(cos2)'=0.故BD不正确,选AC.2.若曲线f(x)=在某点处的切线的倾斜角为,则该点的坐标为(　　)A.(1,1) B.(-1,-1)C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1)答案:D解析:由已知得切线的斜率k=tan=-1,设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-1,又f'(x)=-,∴-=-1,∴x0=1或x0=-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D.3.曲线y=x3的斜率等于1的切线有(　　)A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定答案:B解析:设切点坐标为(x0,y0),∵y'=3=1,∴x0=±.故斜率等于1的切线有2条.4.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b=(　　)A.4 B.-4 C.28 D.-28答案:C解析:∵y'=3x2,∴曲线在点(2,8)处的切线斜率k=y'|x=2=12.∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,∴k=12,b=-16,∴k-b=28.5.下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x答案:D解析:若两直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1.因为A项中,f'(x)=(ex)'=ex>0,B项中,f'(x)=(x3)'=3x2≥0,C项中,x>0,则f'(x)=(lnx)'=>0,所以不会使切线斜率之积为-1,D项中,f'(x)=cosx,存在无数对互相垂直的切线,故选D.6.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　　. 答案:1解析:因为f(x)=x2,g(x)=lnx,所以f'(x)=2x,g'(x)=,且x>0,所以f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-(舍去).故x=1.7.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是　　　　　,切线方程为　　　　　　　　. 答案:　x-ey=0解析:∵y'=,∴k=,∴切线的斜率为,切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.8.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 答案:解析:∵y'=(sinx)'=cosx,∴切线l的斜率为kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴α∈.9.证明:曲线y=在任一点P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为一定值.证明:由y=,得y'=-.所以曲线y=在点P(x0,y0)(x0>0)处的切线的斜率为k=y'=-.所以切线方程为y-y0=-(x-x0).因为y0=,所以令x=0,得y=y0+;令y=0,得x=2x0.因此,曲线y=在点P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=×2x0×=2,为一定值.能力提升1.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为(　　)A. B. C. D.1答案:B解析:由y=xn+1(n∈N*)得y'=(n+1)xn.则曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k=n+1,故切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得xn=,所以x1·x2·…·xn=×…×.故选B.2.若曲线y=在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=(　　)A.64 B.32 C.16 D.8答案:A解析:因为y'=-,所以曲线y=在点处的切线方程为y-=-(x-a),由x=0得y=,由y=0得x=3a,所以·3a=18,解得a=64.3.(多选题)直线y=x+b能作为下列函数图象的切线的是(　　)A.f(x)= B.f(x)=x4C.f(x)=sin x D.f(x)=ex答案:BCD解析:A中,f(x)=,故f'(x)=-,令-,无解,故A排除;B中,f(x)=x4,故f'(x)=4x3,令4x3=,得x=,即曲线在点处的切线方程为y=x-,B正确;C中,f(x)=sinx,故f'(x)=cosx,令cosx=,取x=,故曲线在点处的切线方程为y=x-,C正确;D中,f(x)=ex,故f'(x)=ex,令ex=,得x=-ln2,曲线在点处的切线方程为y=x+ln2+,D正确.故选BCD.4.设函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　. 答案:21解析:∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0),∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.5.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,求点P的坐标.解:设f(x)=y=ex,则f'(x)=ex,所以f'(0)=1.因此曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.设g(x)=y=(x>0),则g'(x)=-.设点P的坐标为(xP,yP),且xP>0.由题意可得g'(xP)=-=-1,解得xP=1,则yP==1.所以点P的坐标为(1,1).6.已知直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在A,B两点之间的曲线上求一点P,使△ABP的面积最大.解:因为直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,所以|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大.由题意易知当抛物线y=x2在点P处的切线与直线l平行时,点P到AB的距离最大,设此时点P的坐标为(x0,),因为y'=2x,所以y'=2x0=2,所以x0=1.所以点P的坐标为(1,1),切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.所以与直线l平行的抛物线的切线方程为2x-y-1=0,点P(1,1)为A,B两点之间的曲线上所求的点,使△ABP的面积最大.