新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 §3.1.1 函数的概念(2份打包，原卷版+教师版)

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§3.1　函数的概念及其表示3.1.1　函数的概念第1课时　函数的概念(一)学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.知识点　函数的概念思考1　在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？答案为：确定，一一对应.思考2　如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？答案为：不确定，例如函数的定义域为A＝{﹣1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.特别提醒　理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这三性只要有一个不满足，便不能构成函数.(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式.(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数.1.根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)2.任何两个集合之间都可以建立函数关系.(　　)3.函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.(　　)4.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(　　)一、函数关系的判断例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)A.A＝{﹣1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B.A＝{0,1}，B＝{﹣1,0,1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.跟踪训练1　已知集合M＝{﹣1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x﹣1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是(　　)A.① B.② C.③ D.④二、求函数值例2　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠﹣2)，g(f(2))；(2)求g(f(x)).延伸探究1.本例的条件不变，求f(f(x))，g(g(x)).2.本例的条件不变，若f(a＋1)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋a＋1，求a的值.反思感悟　函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.跟踪训练2　若f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠﹣1)，求f(0)，f(1)，f(1﹣a)(a≠2)，f(f(2))的值.三、求函数的定义域例3　求下列函数的定义域：(1)y＝3﹣eq \f(1,2)x；(2)y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))； (3)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(4)f(x)＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).反思感悟　求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.跟踪训练3　求下列函数的定义域：(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)﹣eq \r(1－x)； (2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).函数的判断典例　在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝eq \f(x,3)；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|﹣1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥ C.②③④ D.①②③⑤[素养提升]　(1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养.(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.1.已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则f (eq \f(1,a))等于(　　)A.eq \f(1,a) B.eq \f(3,a) C.a D.3a2.下列函数中定义域为R的是(　　)A.y＝eq \r(x) B.y＝(x﹣1)0 C.y＝x2＋3 D.y＝eq \f(1,x)3.(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)A.y是x的函数B.x是y的函数C.对于不同的x，y也不同D.f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数4.若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________，f(f(﹣2))＝________.5.函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是_____________________.1.知识清单：(1)函数的概念.(2)求函数值.(3)求函数的定义域.2.方法归纳：定义法.3.常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义.1.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　)A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素2.设函数f(x)＝3x2﹣1，则f(a)﹣f(﹣a)的值是(　　)A.0 B.3a2﹣1 C.6a2﹣2 D.6a23.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　)A.f：x→y＝eq \f(1,8)x B.f：x→y＝eq \f(1,4)x C.f：x→y＝eq \f(1,2)x D.f：x→y＝x4.函数f(x)＝eq \f(\r(1－3x),x)的定义域为(　　)A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(00时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))， 当a<0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).1.集合{x|x<﹣2}表示的区间是________.2.区间[1,2)表示的集合为________.3.已知函数f(x)与函数g(x)＝eq \f(2,1－\r(1－x))是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为____________________.4.函数f(x)＝x2＋1的值域为________.一、区间的应用例1　把下列数集用区间表示：(1){x|x≥﹣1}；(2){x|x<0}； (3){x|﹣1﹣1，且x≠2}＝________________.1.知识清单：(1)区间的概念.(2)同一个函数.(3)函数的值域.2.方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法.3.常见误区：求函数的值域时首先要确定函数的定义域.1.区间(0,1]等于(　　)A.{0,1} B.{(0,1]} C.{x|01)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.11.下列四组函数中表示同一个函数的是(　　)A.f(x)＝eq \r(－2x3)，g(x)＝xeq \r(－2x)B.f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C.f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝|x|D.f(x)＝0，g(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)12.若函数f(x)＝(a2﹣2a﹣3)x2＋(a﹣3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________.13.已知集合A＝{x|y＝eq \r(x＋2)}，若函数f(x)＝﹣x，x∈A，则函数f(x)的值域是________.14.在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当aa}(a，＋∞){x|x≤a}(﹣∞，a]{x|x