2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

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专题十三  推理与证明第三十八讲  推理与证明2019年 2019年8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm8 解析 头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小，
即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．9. （2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B．   C． D．9解析 解法一（直接代换运算）：由及可得，.因为，所以，则，.故选D.解法二（由选项结构特征入手）：因为，所以，r满足方程：．所以，所以故选D. 2010-2018年 一、选择题1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A．，         B．，C．，         D．，2．(2018北京)设集合则A．对任意实数，   B．对任意实数，C．当且仅当时，  D．当且仅当时，3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩            B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩        D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则 A．<<    B．<<    C．<< D．<<5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A．2号学生进入30秒跳绳决赛       B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛       D．9号学生进入30秒跳绳决赛6．(2015广东)若集合，且，，用表示集合中的元素个数，则A．          B．          C．             D．7．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有A．人           B．人            C．人         D．人8．（2014山东）用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是A．方程没有实根        B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根  D．方程恰好有两个实根9．（2011江西）观察下列各式: ，，，，则的末四位数字为 A．3125          B．5625          C．0625         D．812510．（2010山东）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A．       B．          C．          D．二、填空题11．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为     ．12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，=1，2，3．①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是_ ___．②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是______．13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是       ．14．（2016山东）观察下列等式：；；；；……照此规律，_______．15．（2015陕西）观察下列等式：1－1－1－……据此规律，第个等式可为______________________．16．（2015山东）观察下列各式：；；……照此规律，当时，       ．17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，依此类推，设，，，…，，则__．18．(2014福建)若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____．19．(2014北京)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：                 工序        时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为           个工作日．20．(2014陕西)已知，若，则的表达式为________．21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812    猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________．22．(2013陕西)观察下列等式: …照此规律, 第个等式可为        ．23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为．记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数   正方形数   五边形数   六边形数   ……可以推测的表达式，由此计算           ．24．(2012陕西)观察下列不等式，，……照此规律，第五个不等式为                             ．25．(2012湖南)设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，，此时位于中的第4个位置.（1）当=16时，位于中的第       个位置；（2）当（）时，位于中的第       个位置.26．(2011陕西)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第个等式为                                 ．27．(2010浙江)设，将的最小值记为，则其中=__________________．28．(2010福建)观察下列等式：K^S*5U.C#O① cos2=21；② cos4=88+ 1；③ cos6=3248+ 181；④ cos8=128256+ 16032+ 1；⑤ cos10=1280+ 1120++1．可以推测，=             ．三、解答题29．（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．(1)当时，若，，求和的值；(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数．(1)求的值；(2)求的表达式(用表示)．31．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．32．（2017北京）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．33．(2016江苏)记．对数列（）和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设（）是公比为的等比数列，且当时，．(1)求数列的通项公式；(2)对任意正整数（），若，求证：；(3)设，，，求证：．34．(2016浙江)设函数=，．证明：(1)；(2)．35．(2015湖北)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．36．(2015江苏)已知集合，设整除或，令表示集合所含元素的个数．(1)写出的值；(2)当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．37．(2014天津)已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.(1)当，时，用列举法表示集合；(2)设，，，其中，，．证明：若，则．38．(2013江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数.(1)若，且，，成等比数列，证明：；(2)若是等差数列，证明：．