初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形优秀课时作业

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

18.2.1 矩形

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.

知识点01：矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

知识点02：矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

知识点03：矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

知识点04：直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典例分析01】（2022八下·敦化期末）如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【规范解答】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，

∵矩形，

∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，

∵AE⊥DM于E，

∠AEM=∠AED=90°，

∴∠B=∠AEM，

∵平分，

∴∠AMB=∠AME，

∵AM=AM，

∴△ABM≌△AEM（AAS），

∴AE=AB=1，BM=ME，

在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，

设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，

在Rt△CDM中，由勾股定理，得

（+x）2=（2-x）2+12，

解得：x=2-，

∴CM=2-（2-）=，

故答案为：D．

【思路引导】过点A作AE⊥DM于E，利用“AAS”证明△ABM≌△AEM可得AE=AB=1，BM=ME，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，利用勾股定理可得（+x）2=（2-x）2+12，再求出x的值，即可得到CM的值。

【典例分析02】（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【规范解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∵，

∴AO=DO=

∵∠AOD=∠BOC=120°

∴∠OAD=30°

∵∠OPA=90°

∴OP=

故答案为：A.

【思路引导】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.

【随堂演练01】（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为　     　．

【随堂演练02】（2022八下·潮安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED的形状并证明．

【典例分析03】（2022八下·巴彦期末）下列命题中，错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．有一组邻边相等的矩形是正方形

【答案】C

【规范解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；

有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不符合题意；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；

有一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意；

故答案为：C．

【思路引导】利用平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法对每个选项一一判断即可。

【典例分析04】（2022八下·铁东期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是　                                                                         　．

【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）

【规范解答】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．

故答案是三个角是直角的四边形是矩形．

【思路引导】根据矩形的判定方法求解即可。

【随堂演练03】（2022八下·新余期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为　               　时，P、Q、C、D四点组成矩形．

【随堂演练04】（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．

【典例分析05】（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．

（1）求证：四边形是矩形．

（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．

（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．

【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形

（2）解：，证明如下：连接，

∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；

（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．

【思路引导】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2），理由：连接， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.

【典例分析06】（2022八下·康巴什期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求矩形的周长．

【答案】（1）证明：∵△BOC≅△CEB ．

∴，（全等三角形的对应边相等）

∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

∵四边形是菱形，

∴ （菱形的两条对角线互相垂直）

∴

∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：∵四边形是菱形，，，

∴ （菱形的四条边相等），

∵

∴

在中，

（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

，

∴矩形的周长．

【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合可得四边形是矩形；
（2）先求出OB和OC的长，再利用矩形的周长公式计算即可。

【随堂演练05】（2022八下·滨城期末）如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　）

A．3 B． C．5 D．6

【随堂演练06】（2022八下·营口期末）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．

（1）求证：四边形是矩形； 

（2）若，求证：平分． 

【典例分析07】（2022八下·曲阳期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝　     　．

【答案】

【规范解答】解：，点D是AC的中点，

∵点D、E分别是AC、BC的中点，

∴

故答案为：

【思路引导】根据直角三角形斜边中线的性质可得=3cm，从而求出DE=4cm，根据三角形的中位线定理可得，继而得解.

【典例分析08】（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm

【答案】A

【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOB=90°，

∵M是AB边的中点，

∴AB=2OM=10，

∴菱形ABCD的周长为10×4=40．

故答案为：A.

【思路引导】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。

【随堂演练07】（2022八下·承德期末）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线与点E，连接OE．

嘉嘉说：“四边形ABCD是菱形．”

琪琪说：“．”

对于他俩的说法，正确的是（　　）

A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确

C．他俩都正确 D．他俩都错误

【随堂演练08】（2022八下·平山期末）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作AF//BC交的延长线于点F．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积．

一、选择题

1．（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，添加的条件不正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点，连接，，且，，则的长是（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

5．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接、，则的最小值为（    ）

A．22 B．24 C．25 D．26

6．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（　　）

①；

②；

③；

④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

7．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）如图，矩形，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连接，若三角形为等腰三角形，则______．

8．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）已知平面直角坐标系中，有两点，，且满足，为上一动点（不与，重合），轴，轴，垂足分别为，，连接，则的最小值为______

9．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）在矩形纸片中，点E在上，将沿翻折得到，使点C的对应点F落在上，若，，则__________ ．

10．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．

11．（2023秋·江苏淮安·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点P是直线上一动点，若满足是等腰三角形的点P有且只有3个，则的长为________．

12．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，点A在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上运动时，点D也随之运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为______．

13．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F，当点E与点D重合时，点F恰好落在上，则的最小值是______．

三、解答题

14．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点B落在上的点M处，将边沿折叠，使点D落在上的点N处．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若，，求四边形的面积．

15．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．

(1)求证：；

(2)求证：四边形是矩形．

16．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）如图在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．

(1)求证：四边形为矩形．

(2)若，，求矩形的周长．

17．（2022秋·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考期末）如图，在每个小正方形的边长都为的方格纸中有线段，点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中以为对角线画矩形，点均在小正方形的顶点上，且点在的右侧，该矩形的面积为；

(2)以为边画 （非矩形），点均在小正方形的顶点上，且的面积为4；

18．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期末）如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点．

(1)求证：．

(2)连接，猜想与之间的关系，并说明理由．

(3)若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系．

19．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．

(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．

20．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，点为矩形的对称中心，，，点，，分别从，，三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点的运动速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点，，运动的时间为（单位：）．

(1)当　　s时，四边形为正方形．

(2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形可能全等？

(3)是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．