【重难点讲义】人教版数学八年级下册-18.1 平行四边形 讲义

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

18.1 平行四边形

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．

4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

知识点01：平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

    要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点02：平行四边形的性质

    1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点03：平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

知识点04：三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

知识点05：平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

 2.平行四边形的面积：       

平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.

【典例分析01】（2022春•关岭县期末）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（　　）

A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 

C．线段AD的长度 D．线段CE的长度

【思路引导】根据平行线间的距离的定义可得答案．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．

【规范解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得：

线段CD的长度是直线a，b之间距离，

故选：B．

【考察注意点】本题考查平行线间的距离，熟练掌握两条平行线间垂线段的长度就是平行线间的距离的定义是解题关键．

【典例分析02】（2022•西湖区校级模拟）已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（　　）

A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可

【思路引导】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．

【规范解答】解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，

∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，

故选：C．

【考察注意点】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．

【变式训练01】（2021春•延庆区期中）如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5，AC＝4，那么平行线a，b之间的距离为 　    　．

【变式训练02】如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？

【典例分析03】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　）

A．1.5 B．1 C．0.5 D．2

【思路引导】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可．

【规范解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6，

∴DE＝BC＝3，

∵AF⊥CF，

∴∠AFC＝90°，

∵E为AC的中点，AC＝3，

∴FE＝AC＝1.5，

∴DF＝DE﹣FE＝1.5，

故选：A．

【考察注意点】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

【典例分析04】（2022春•东平县校级月考）如图，在ABC中，AB＝13，BC＝12，D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长为（　　）

A．25 B．18.5 C．17.5 D．18

【思路引导】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算即可．

【规范解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，

AC2+BC2＝52+122＝169，

AB2＝132＝169，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵AC∥DE，

∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，

∴直线DE是线段BC的垂直平分线，

∴DC＝BD，

∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，

故选：D．

【考察注意点】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

【变式训练03】（2022秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 　      　．

【变式训练04】（2022秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．

（1）求证：DE＝BF；

（2）求四边形DEFB的周长．

【典例分析05】（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．3 B．6 C．8 D．10

【思路引导】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【规范解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，

∴AB＝＝3，

又∵OC＝OA，

∴CD＝DB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD＝AB＝1.5，

∴DE＝2OD＝3．

故选：A．

【考察注意点】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．

【典例分析06】（2022秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【思路引导】先证明AB＝AE＝3，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．

【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AD∥BC，

∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，

∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，

∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，

∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．

故选：A．

【考察注意点】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．

【变式训练05】（2022秋•南关区校级期末）关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线相等 

B．平行四边形的对角相等 

C．平行四边形的对角线互相平分 

D．平行四边形的对边平行且相等

【变式训练06】．（2022秋•招远市期末）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）

A． B． 

C． D．

【典例分析07】（2022秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO 

C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD

【思路引导】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．

【规范解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；

C、∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；

故选：B．

【考察注意点】本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

【典例分析08】（2022春•藁城区校级月考）四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【思路引导】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．

【规范解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；

②根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对角相等的四边形可得是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；

③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；

④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；

故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．

故选：C．

【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理．

【变式训练07】（2022春•黔江区期末）如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD∥BC，AB＝CD B．∠AOB＝∠COD，∠AOD＝∠COB 

C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝AD，CB＝CD

【变式训练08】（2022春•南海区校级月考）如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC，△ABE，△BCF．求证：四边形ADFE是平行四边形．

【典例分析09】（2022秋•莱阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交

BC于点F．求证：BE＝CF．

【思路引导】要证明BE＝CF，先证四边形EFDC是平行四边形，再利用BE＝ED转化，进而可求出结论．

【规范解答】证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，

∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠CBD

∴∠ABD＝∠EDB，

∴BE＝DE，

∵DE∥BC，EF∥AC，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∴DE＝CF

∴BE＝CF．

【考察注意点】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．

【典例分析10】（2022秋•泰山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．

（1）求证：

①△AOE≌△COF；

②四边形ABCD为平行四边形；

（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．

【思路引导】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；

②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．

【规范解答】（1）①证明：∵AD∥BC，

∴∠OAD＝∠OCB，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

②同理可证△AOD≌△COB，

∴AD＝CB，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）解：∵△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∵EF⊥BD，

∴BE＝BF，

∴∠OBF＝∠OBE＝32°，

∴∠EBF＝64°，

∵AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，

∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．

【考察注意点】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明△AOE≌△COF是解题的关键．

【变式训练09】（2022春•宁南县校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点F，延长CB至点E，连接AE、CF，且BE＝DF．求证：四边形四边形AECF是平行四边形．

【变式训练10】（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：

（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．

一、选择题

1．（2022秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，，，、交于点，下列结论中不正确的是（    ）

A．

B．

C．沿折叠后，点的对应点是，则以A、、、为顶点的四边形是平行四边形

D．点在线段的中垂线上

2．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．如果，，那么可得；

B．在中，，；

C．如果，，那么可得；

D．在中，，；

3．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（　　）

A． B．2 C． D．

4．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．

5．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（    ）

A．3 B． C． D．

6．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（    ）．

A．6 B．3 C．1.5 D．5

7．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

二、填空题

8．（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）平行四边形中，，则______．

9．（2022春·西藏昌都·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，，．则______．

10．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则_____

11．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）如图所示，四边形是平行四边形，，为垂足．若，则等于______

12．（2021春·吉林长春·八年级校考期中）如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是______．

13．（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

14．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则_____．

三、解答题

15．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，在四边形中，点分别是的中点，连接，，，，求的长．

16．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）综合与实践

如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．

(1)直接写出：____________；（用含t的式子表示）

(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？

17．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接．

(1)求证：．

(2)若，且，，求的长．

18．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）在四边形中，，点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．

(1)求的长；

(2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；

(3)在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

19．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图1，在中，，D是边上一点，以为边作，使．

(1)若，求的度数；

(2)以为边作平行四边形．

①如图2，若点F恰好落在上．求证：；

②如图3，若点F恰好落在上．求证：．

20．（2021秋·广西梧州·八年级统考期末）（1）如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，，过点E，F分别作，，连接交于点G，若试说明．

（2）若将沿方向移动变为如图②的图形，（1）中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．