数学16.1 二次根式优秀同步达标检测题

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
16.1 二次根式

1.理解二次根式的意义。
2.掌握二次根式的几个运算性质。
重点：掌握二次根式的运算性质
难点：掌握运算性质的推导过程

考点1 二次根式的定义
形如的代数式叫二次根式
（1） 式子中含有二次根号“”；
（2） 可以表示数也可以表示代数式
（3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性
考点2 二次根式的主要性质
（1）
（2）
（3）
（4）
二次根式的性质是根式化简的依据。
考点3 最简二次根式
被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：
①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号




【典例分析01】（2022秋•宛城区校级期末）若是二次根式，则x应满足（　　）
A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2
【思路引导】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【规范解答】解：由题意可知：x﹣2≥0，
x≥2
故选：A．
【考察注意点】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【典例分析02】（2022春•合川区校级期中）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B．π C． D．
【思路引导】根据二次根式的定义判断即可．
【规范解答】解：A、﹣5＜0，二次根式无意义，故此选项不符合题意；
B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；
C、当a＜0时，二次根式无意义，故此选项不合题意；
D、是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【考察注意点】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．
【随堂演练01】（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．
问题解决：
（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　　；
（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．
【思路引导】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【规范解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，
∴2a＝6，
∴a＝＝，
故答案为：；
（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，
∴（4+）（8﹣m）＝26，
∴8﹣m＝＝＝8﹣2，
∴m＝2．
【考察注意点】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．
【随堂演练02】已知二次根式．
（1）求x的取值范围；
（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；
（3）若二次根式的值为零，求x的值．
【思路引导】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；
（2）将x＝﹣2代入计算可得；
（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．
【规范解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，
解得x≤6；
（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；
（3）∵二次根式的值为零，
∴3﹣x＝0，
解得x＝6．
【考察注意点】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

【典例分析03】（2022秋•金牛区校级期末）如果，那么x+y的平方根为 　±　．
【思路引导】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．
【规范解答】解：∵，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴y＝3，
∴x+y＝2+3＝5，
∴x+y的平方根为±．
故答案为：±．
【考察注意点】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【典例分析04】（2022春•龙岩校级月考）（1）已知a、b为实数，且＝b+4，求a、b的值．
（2）已知实数a满足|2021﹣a|+＝a，求a﹣20212的值．
【思路引导】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而可得出b的值；
（2）根据二次根式有意义的条件可得出a≥2022，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案．
【规范解答】解：（1）由题意，
∴a＝5，
∴b+4＝0，
∴b＝﹣4；
（2）由题意得，a﹣2022≥0，
∴2021﹣a＜0，
∴原式可化为a﹣2021+＝a，
∴＝2021，
∴a﹣2022＝20212，
∴a﹣20212＝2022．
【考察注意点】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
【随堂演练03】（2022春•潍坊期中）已知．求﹣x﹣3y的立方根．
【思路引导】根据二次根式的被开方数是非负数可得x、y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
解得x＝3，
∴y＝8，
∴﹣x﹣3y＝﹣3﹣24＝﹣27，
∴﹣x﹣3y的立方根﹣3．
【考察注意点】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【随堂演练04】（2022春•清城区期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0．
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①，②
解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣25＞0的解集为 　x＞5或x＜﹣5　；
（2）求使代数式有意义的x的取值范围；
（3）试解不等式≤0．
【思路引导】（1）先分解因式，根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，分两种情况分别计算即可；
（2）先分解因式，根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，分两种情况分别计算即可；
（3）根据有理数的除法法则，异号得负，分两种情况分别计算，注意分母不等于0．
【规范解答】解：（1）∵x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），
∴（x+5）（x﹣5）＞0，
∴或，
解第一个不等式组得：x＞5，
解第二个不等式组得：x＜﹣5，
∴x2﹣25＞0的解集为：x＞5或x＜﹣5，
故答案为：x＞5或x＜﹣5；
（2）∵2x2﹣3x≥0，
∴x（2x﹣3）≥0，
∴或，
解第一个不等式组得：x≥1.5，
解第二个不等式组得：x≤0，
∴代数式有意义的条件为：x≥1.5或x≤0；
（3）根据题意得：或，
解第一个不等式组得：0.5≤x＜4，
解第二个不等式组得：无解，
∴不等式的解集为：0.5≤x＜4．
【考察注意点】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，阅读型，考查分类讨论的思想，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．


【典例分析05】（2022秋•桐柏县期末）下列式子正确的是（　　）
A． B． C．＝﹣1 D．
【思路引导】利用开平方的性质和开立方的性质计算．
【规范解答】解：根据二次根式的性质：
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、属于立方根的运算，故C正确；
D、＝2，故D错误．
故选：C．
【考察注意点】此题主要考查二次根式的化简，正确理解算术平方根的意义，注意符号的处理．
【典例分析06】（2022秋•杨浦区期末）当mn＜0时，化简＝　﹣mn　．
【思路引导】直接利用已知结合二次根式有意义的条件，得出m，n的符号，进而化简得出答案．
【规范解答】解：∵mn＜0，m3n2＞0，
∴m＞0，n＜0，
∴＝﹣mn．
故答案为：﹣mn．
【考察注意点】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【随堂演练05】（2022秋•港南区期末）材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．
例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：＝　±　，＝　±　；
（2）化简：；
（3）计算：+．
【思路引导】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把6变形成2，仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将变形成2，变形成2，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
【规范解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，
故答案为：±，±；
（2）＝＝＝±；
（3）+
＝+
＝+
＝﹣++
＝，
同理可得+＝．
【考察注意点】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．
【典例分析06】（2023•临川区校级一模）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣+．

【思路引导】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c﹣a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【规范解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，
∴c﹣a＜0，
∴|a|﹣+
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
【考察注意点】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．

【典例分析07】（2022秋•徐汇区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【思路引导】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
【规范解答】解：因为：A、＝；
B、＝2；
D、＝|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【考察注意点】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
【典例分析08】（2022秋•海陵区校级期末）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【思路引导】根据最简二次根式即可求出答案．
【规范解答】解：（A）原式＝2，故A不选；
（B）原式＝，故B不选；
（D）原式＝，故D不选；
故选：C．
【考察注意点】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式，本题属于基础题型．
【随堂演练07】（2022春•灵宝市期中）把下列二次根式化简最简二次根式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路引导】（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）把40写成4×10，然后化简；
（3）先把小数写成分数，然后把分母有理化；
（4）分子分母都乘以3，然后化简．
【规范解答】解：（1）＝＝4；

（2）＝＝2；

（3）＝＝＝；

（4）＝＝．
【考察注意点】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【随堂演练08】（2018春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
【思路引导】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．
【规范解答】解：（1）＝；

（2）＝4；

（3）＝＝．
【考察注意点】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．

一、选择题
1．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）下列整数中，与最接近的是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【思路引导】由，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1．
【规范解答】∵，
∴．
∵最接近1，
∴与最接近的是1．
故选C．
【考察注意点】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键．
2．（2023·全国·八年级专题练习）下列代数式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】直接根据二次根式的定义逐一判断即可．
【规范解答】解：A、当时，式子无意义，故此选项不符合题意；
B、不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、当时，式子无意义，故此选项不符合题意；
D、是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【考察注意点】本题考查二次根式，一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数．解题的关键是正确理解二次根式的定义．
3．（2023春·八年级课时练习）若有意义，则x的取值范围是（    ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【思路引导】令被开方数大于或等于0，令分母不为0即可求解．
【规范解答】解：由题意得：，且，
解得：且，
故选：D．
【考察注意点】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解题关键是掌握分式的分母不为0和二次根式的被开方数的非负性．
4．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）与根式的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据已知可得，然后再把根号外的x移到根号内进行计算即可．
【规范解答】解：由题意得：
∴，
∴
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，根据已知得到，然后再把根号外的x移到根号内进行计算是解题的关键．
5．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【思路引导】先将根式进行化简，再利用两个数互为相反数的定义来判定求解．
【规范解答】A．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
B．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
C．，，和不互为相反数，故本选项不符合题意；
D．，即和互为相反数，故本选项符合题意；
故选：D．
【考察注意点】本题主要考查了根式的化简和互为相反数的定义，将根式进行化简是解答关键．
6．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）按如图所示运算程序，输入，，则输出结果为（    ）

A． B．6 C． D．
【答案】A
【思路引导】判断出的大小关系，根据程序流程图，代入相应的代数式，进行求解即可．
【规范解答】解：∵，即：，
由流程图可得：；
故选A．
【考察注意点】本题考查程序流程图．按照程序流程图的顺序，进行计算求值，是解题的关键．
7．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据a、b、c在数轴上的位置得出，，从而得出，，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．
【规范解答】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，
∴，，
∴



．
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a、b、c在数轴上的位置确定，．
8．（2022·全国·八年级专题练习）已知，当x分别取，，，……，时，所对应的y值的总和是（  ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】将原式化为，再根据的取值情况去掉绝对值，再根据题意得出总和即可．
【规范解答】∵
∴
当时，
∴


当时，
∴
∴值的总和为：

，
故选：C
【考察注意点】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的关键．

二、填空题
9．（2021春·山东威海·八年级校考期中）二次根式中字母x的取值范围是_________．
【答案】##
【思路引导】根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可．
【规范解答】∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【考察注意点】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键．
10．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）已知，则______．
【答案】9
【思路引导】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【规范解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：9
【考察注意点】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
11．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）若，则的平方根是______．
【答案】
【思路引导】利用平方、算术平方根的非负性求出a，b，进而可求出的平方根．
【规范解答】解：，，，
，，
，，
，
的平方根，
故答案为：．
【考察注意点】本题考查非负数的性质、求一个数的平方根、二次根式的性质等，解题的关键是利用平方和算术平方根的非负性求出a，b．
12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）的三边长分别为1、k、3，则化简_____．
【答案】1
【思路引导】根据三角形的三边关系得到，再判断得到，，再化简代数式即可．
【规范解答】解：∵的三边长分别为1、k、3，
∴，
∴，，
∴



．
故答案为：1．
【考察注意点】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．
13．（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知、为实数，，则的值等于______．
【答案】16
【思路引导】根据被开方数大于等于0，得到，求出的值，进而求出的值，再求，即可．
【规范解答】解：∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【考察注意点】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握被开方数大于等于0，是解题的关键．

三、解答题
14．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）计算：
【答案】
【思路引导】先根据乘法分配律去括号，同时化简立方根，再化简二次根式，再计算加减法．
【规范解答】原式

．
【考察注意点】此题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
15．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）先观察下列各式，然后回答问题．
第一个，
第二个，
第三个，
……
(1)请写出第4个式子_______．
(2)请你将猜测到的规律用含有的代数式表示出来_________．
【答案】(1)
(2)

【思路引导】（1）直接利用已知数据，结合根号内外变化规律得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【规范解答】（1）∵第一个，
第二个，
第三个，
∴第三个．
故答案为：；
（2）第n个式子为：．
理由：左边
，
右边，
∴左边=右边，
∴．
故答案为：．
【考察注意点】此题主要考查了数字变化规律，以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
16．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若和都有意义，x的值是多少？
解：和都有意义，
且．
又，且，
．
问题：若，求的值．
【答案】
【思路引导】根据二次根式被开方数非负，建立不等式组求出x，y的值，带入计算即可.
【规范解答】解：由题意得：
，
，
解得，
所以，
所以．
【考察注意点】本题考查了二次根式的性质、解不等式组；根据二次根式的性质确定x的值是解题的关键．
17．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）观察下列各式：



请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)；
(2)
(3)．

【思路引导】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【规范解答】（1）
（2）
（3）
【考察注意点】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
18．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)；
(2)．

【思路引导】（1）化简原式中的二次根式和绝对值，进一步化简后即可得到结果；
（2）化简原式中的二次根式和负整数指数幂，零指数幂，进一步计算即可得到结果．
【规范解答】（1）解：原式

；
（2）解：原式
．
【考察注意点】此题考查了实数的运算，零指数、负指数幂，最简二次根式，绝对值代数意义化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列各式：
；；
，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想：＝ ＝ ；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式： ；
(3)应用：计算．
【答案】(1)，
(2)
(3)1

【思路引导】（1）根据所给例子解答即可；
（2）根据所给例子用含n（n为正整数）的代数式表示即可；
（3）先将改写成，然后根据规律解答即可．
【规范解答】（1）猜想：；
故答案为：，；
（2）由所给例子可得，．
故答案为：；
（3）
＝
＝

＝1．
【考察注意点】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的性质与化简，观察出规律是解答本题的关键．
20．（2022秋·江苏·八年级期中）计算：．
【答案】
【思路引导】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质和绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【规范解答】解：原式＝
．
【考察注意点】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质和绝对值的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．