高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理优秀课后练习题

第11讲  正弦定理

知识点01  正弦定理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝。

2.正弦定理的变形公式

（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).

【即学即练1】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理即得.

【详解】在中，由正弦定理，

∴，，故ABD错误，C正确.

故选：C.

【即学即练2】已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则a等于（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用正弦定理即可求出的值．

【详解】由正弦定理得，即，解得．

故选：A．

知识点02  三角形面积公式

=；=；=；（a、b、c是的三个内角A、B、C所对的边）。

=；=；=；（、、是的边a、b、c上的高）。

=。

=（r为三角形内切圆半径）。

【即学即练3】在中，若，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形的面积公式求解即可

【详解】由题意，

故选：D

【即学即练4】在中，分别是角所对的边，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理求得，利用面积公式进行求解.

【详解】由正弦定理得：，

由面积公式得：.

故选：B

考法01  利用正弦定理解三角形

【典例1】在中，内角、、所对的边分别为、、．已知，，，．

(1)求和的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；或

(2)或

【分析】（1）根据正弦定理可以求出，由结合条件得到，利用余弦定理求得；

（2）利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简，再根据（1）讨论或，从而得到，即可求解.

【详解】（1）因为，，，

则由正弦定理得：，即，

又，所以为锐角，则，

由余弦定理得：，即，

解得：或，

经检验或均能构成三角形，

所以：或.

（2），

由（1）得：当时，则，所以为锐角，则，

所以，

当时，则，

所以，

故的值为或.

考法02  三角形的面积公式

【典例2】已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．

(1)求角；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；

（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.

【详解】（1）解：因为向量，，且

所以，由正弦定理得，

又，则，即，又，所以；

（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），

所以的面积.

题组A  基础过关练

1．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】由，得.

故选：B.

2．在中，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理和三角形成立的条件求解.

【详解】由正弦定理知，

所以，

根据三角形成立的条件可知，解得，

故选:D.

3．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（    ）

A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据，即可得到答案.

【详解】因为，如图所示：

所以，即，所以三角形解的情况为二个解.

故选：B

4．在中，已知，则此三角形（    ）

A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答.

【详解】在中，，由正弦定理得，

而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．

故选：A

5．在中，设、、分别是三个内角、、所对的边，，，面积，则内角的大小为__．

【答案】或

【分析】由三角形面积公式进行求解即可.

【详解】∵的面积，

∴，

∵，

∴或．

故答案为：或.

6．在中，若，则的形状是________．

【答案】等腰三角形

【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到，即可得到答案.

【详解】由题知：，

则为等腰三角形.

故答案为：等腰三角形

7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，则______．

【答案】

【分析】根据题中条件，由正弦定理，即可求解.

【详解】因为，所以．

又，所以由正弦定理得，故，解得．

故答案为：.

8．在中，a，b，c分别是角A、B，C的对边，，．若，求．

【答案】

【分析】直接由正弦定理可得答案.

【详解】由正弦定理得

.

9．求解下列问题：

(1)在中，若，，，求角B．

(2)在中，若，，，求边c．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.

（2）利用正弦定理、三角形的内角和定理求得正确答案.

【详解】（1）由正弦定理得，由于，所以为锐角，所以.

（2），由正弦定理得，，解得.

10．在中，角、、的对边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用正弦定理即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，即，

因为，所以.

（2），所以，

由余弦定理得，

所以的周长为．

题组B  能力提升练

1．在中，分别是角所对的边，，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理求得，再利用面积公式进行求解即可.

【详解】由正弦定理得：，

由面积公式得：.

故选：.

2．在中，已知，则是（    ）

A．直角三角形； B．锐角三角形； C．钝角三角形； D．等边三角形．

【答案】A

【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定角大小，判断三角形形状．

【详解】解：由已知，所以，

因为，所以，即三角形为直角三角形．

故选：A．

3．在中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理可得，.根据余弦定理即可求出结果.

【详解】由以及正弦定理可得，.

又因为，所以.

由余弦定理可得，.

故选：A.

4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，求出，再结合角的取值范围，即可求解.

【详解】在中，，

由正弦定理可得，

所以，即，

因为，所以，因为，所以.

故选：D.

5．在中，若，则的最大值是____．

【答案】

【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解

【详解】结合正弦定理得，即，

所以，

因为，所以，则的最大值是．

故答案为：

6．在平面直角坐标系xOy中，已知，将OA绕点逆时针旋转到OC，则的面积为______．

【答案】

【分析】由题意得，，利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】∵，，

∴.

故答案为：.

7．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．

【答案】8

【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB.

【详解】因为，，所以，，

又因为，所以，

又因为，在中由正弦定理得.

故答案为：8.

8．在中，，，分别是角，，的对边，且，，．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由余弦定理求得的值；

（2）由正弦定理求得的值．

【详解】（1）中，，，，

由余弦定理得，，

解得.

（2）由正弦定理，，

∴.

9．已知在锐角中，M是的中点，且，．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由题意有，，在和中，利用正弦定理，可求的值；

（2）由求出的值，再利用面积公式求解即可.

【详解】（1）锐角中，M是的中点，且，，如图所示：

∴，，

在中，由正弦定理，有，

在中，由正弦定理，有，

则

（2）锐角中，由，∴，有，，

∴

，

所以的面积为

10．已知的内角，，的对边分别为，，，，，.

(1)求角；

(2)求的面积.

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；

（2）根据正弦定理，结合（1）的结论、三角形面积公式进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以由余弦定理可知：；

（2）由正弦定理可知：，

，，

.

题组C  培优拔尖练

1．已知中，，则（    ）

A．或 B． C． D．或

【答案】B

【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正弦定理推得为锐角，从而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得.

【详解】因为在中，，所以，

所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，

所以，

所以.

故选：B.

2．已知分别为三个内角的对边，且，则（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理可得，由三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式可得，由三角形内角的范围可得，再由面积公式即可求解.

【详解】由正弦定理及得.

又因为在中，，

所以，整理得.

因为在，，所以，即.

又因为，所以.

又，所以.

故选:A.

3．在中，若，则b等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求解.

【详解】解：在中，因为，

所以，

所以

，

由得．

故选：C

4．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（    ）

A． B．角的取值范围是

C．的取值范围是 D．的取值范围是

【答案】AD

【分析】由正弦定理统一为角可判断A，由锐角三角形确定角的取值范围，由正弦定理化为三角函数求取值范围判断BD，由确定A的取值范围即可判断C.

【详解】因为，所以，

，，则，所以或．

因为，所以，所以，则，故A正确；

因为，所以．

因为是锐角三角形，所以，即，解得，

所以，则，故B错误，D正确；

因为，所以，所以，则C错误．

故选：AD

5．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.

【详解】因为，由正弦定理可得

，

所以，

又为锐角三角形，所以，，

所以，正弦函数在上单调递增，

所以，所以，A正确；

因为为锐角三角形，所以，，，

所以，，，

所以，B正确；

因为，所以，

所以，

所以，因为，

所以，C错误；

因为，由余弦定理可得

，

所以，

所以，D正确，

故选：ABD.

6．在中，已知，，，于D，则AD的长为______．

【答案】

【分析】在中，根据正弦定理求出.然后在中，即可求出AD的长.

【详解】

由已知可得，.

，

在中，由正弦定理，

可得，.

因为，，在中，，

所以.

故答案为：.

7．在中，角所对的边分别为，

①若，则；

②若，则一定为等腰三角形；

③若，则为直角三角形；

④若为锐角三角形，则.

以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号）

【答案】①③

【分析】利用三角形的内角和为结合三角函数的图像、性质以及正弦定理求解即可.

【详解】①因为，由正弦定理得，所以，正确；

②因为，且在中，，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，错误；

③由二倍角公式得，化简得，由正弦定理得，所以为直角三角形，正确；

④若为锐角三角形，则，，当时得，由正弦函数的单调性得，则，与为锐角三角形矛盾，错误.

故答案为：①③.

8．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，CD平分ACB交AB于点D，且CD=2，2AD=3BD.

(1)求C；

(2)求的面积.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）由余弦定理及正弦定理得，将角转化为后可求得值；

（2） 设AD=3x，BD=2x，在及中由正弦定理得，，在中用正弦定理求得，的值，从而求得的面积.

【详解】（1）由及余弦定理得，，

又由正弦定理得，

由得，

即，

即 ，

由得 ，

因为0＜C＜π，则.

（2）设AD=3x，BD=2x，

在中由正弦定理得，，

则，

在中由正弦定理得，，

则，

在中由正弦定理得，，

则，b=5，

所以.

9．中，内角的对边分别为，已知，.

(1)求外接圆的直径；

(2)若，求的周长.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）先利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求得，进而可得，再利用外接圆的直径求解即可；

（2）由向量数量积的定义可得，再利用余弦定理求的值即可.

【详解】（1）由及正弦定理可得，

，

因为，，且，

所以，

所以，

又因为，，所以，

所以由正弦定理可得外接圆的直径.

（2）由可得，所以，

由余弦定理可得，

即，解得，

所以的周长为.

10．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）结合余弦定理将代换为，再由正弦定理边化角，联立第三角公式与和角公式化简即可求解；

（2）由正弦面积公式可求出，结合余弦定理可得，代换，可整理求出，进而得解.

【详解】（1）中，由余弦定理，

得，

所以，

由正弦定理得，

所以

，

又，得，

；

（2）由，得，

由余弦定理可得，，

即，

，

故的周长为．