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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理练习
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理练习，文件包含112正弦定理原卷版docx、112正弦定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
= 1 \* GB3 ①asinA=bsinB=csinC=2R，
= 2 \* GB3 ②sinA:sinB:sinC=a:b:c，
= 3 \* GB3 ③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，
= 4 \* GB3 ④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC=2R，
= 5 \* GB3 ⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB).
同理，在△ABC中eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
从以上的讨论和探究可得：eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
二、三角形面积公式
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S=12aℎa=bℎb=cℎc
（2）S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
证明：当∆ABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，
设∆ABC的面积为S，则S=12BC∙AD=12absinC；
当∆ABC为钝角三角形时，作BC边长的高AD，
则AD=ABsin180°−∠ABC=ABsin∠ABC，
∴S=12BC∙AD=12acsin∠ABC；
当∆ABC为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）S=12a+b+c∙r
证明：S∆ABC=S∆AOB+S∆BOC+S∆AOC=12cr+12ar+12br=12a+b+c∙r
（4）S=a+b+c4R
证明：S=12absinC=12abc2R=a+b+c4R
四、正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
五、利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
题型一 正弦定理解三角形
【例1】（2022·高一课时练习）在中，若，，，则角的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】，，，
，
，或，或.故选：D
【变式1-1】．（2022·高一课时练习）在中，如果，那么的长为（ ）
A．72 B． C． D．30
【答案】D
【解析】在中，因为，所以，
又，所以．故选：D.
【变式1-2】（2022·高一课时练习）在中，若，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，因为，所以，
所以
，
由得．故选：C
【变式1-3】（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在中，角的对边分别为 ．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意在中，由正弦定理得，为外接圆半径，
故由,得 ，故选：B.
题型二 三角形解的个数判断
【例2】（2022·高一课时练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
【答案】A
【解析】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．故选：A
【变式2-1】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由正弦定理得，且，所以，即．
因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．
故选：B.
【变式2-2】（2022春·广西百色·高一校考期中）（多选）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解 B．，无解
C．，有两解 D．，有唯一解
【答案】AD
【解析】选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；
选项，由正弦定理得：，则，
再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，
故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得：，则，且，
由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得：，，
由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，方法1：∵，，∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，∴只有一解.
方法2：如图所示，∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；故选：C.
题型三 三角形的面积公式
【例3】（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在中，，，，且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以有，
解得，或，而已知，所以，
因此的面积为，故选：C
【变式3-1】（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得：，
由面积公式得：.故选：.
【变式3-2】（2022春·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
,
，其中，
故，
，
故当时，即时，取最大值为.故选：C.
【变式3-3】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，，
即，
即，解得，
又因为，
所以，即，，
，故选：D
题型四 三角形的外接圆问题
【例4】（2022春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】设外接圆半径为，
根据正弦定理可得，
所以，即外接圆半径为.故选：D
【变式4-1】（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且， ，则外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】由，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
又由，所以，
设外接圆半径为，可得，所以
所以外接圆的面积为.
【变式4-2】（2021春·安徽·高一泾县中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积满足，，则的外接圆周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
由余弦定理，得，所以
显然，所以，即，所以，
所以的外接圆半径，则外接圆周长为.
【变式4-3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
又因为：，
所以，
由正弦定理有：,
而,
又因为为钝角三角形，不妨设,则，
则,所以,
所以外接圆的半径.
题型五 正弦定理边角互化
【例5】（2022·高一课时练习）在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，∵，
∴
，
∵，∴，
∴，由正弦定理得，∴，
由余弦定理得，
解得，∴，∴．故选：A．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）在中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理知，
所以，
根据三角形成立的条件可知，解得，故选:D.
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理及得.
又因为在中，，
所以，整理得.
因为在，，所以，即.
又因为，所以.
又，所以.故选:A.
【变式5-3】（2022·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：
．
（2）由正弦定理得，
所以 ，．
同理，
，
从而
．
题型六 判断三角形的形状
【例6】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】，由正弦定理可知，，因为，
所以，所以，
即
所以，所以，，
因为、、是三角形内角，所以．
所以是等腰三角形．故选：A．
【变式6-1】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，若，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，即，则，
又满足，，
即，，
∴，∵，∴，则，
则的形状是等边三角形．故答案选：C．
【变式6-2】（2022春·天津·高一校联考期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因为，所以
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，即是直角三角形.故选：A
【变式6-3】（2022·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理及题意，得，
．
∵，∴，
∴或，即或．
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D
一、正弦定理
1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC.
【注意】正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2、正弦定理推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
= 1 \* GB3 ①asinA=bsinB=csinC=2R，
= 2 \* GB3 ②sinA:sinB:sinC=a:b:c，
= 3 \* GB3 ③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，
= 4 \* GB3 ④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC=2R，
= 5 \* GB3 ⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）
3、正弦定理的推导示例：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB).
同理，在△ABC中eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
从以上的讨论和探究可得：eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
二、三角形面积公式
在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S=12aℎa=bℎb=cℎc
（2）S=12absinC=12bcsinA=12acsinB
证明：当∆ABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，
设∆ABC的面积为S，则S=12BC∙AD=12absinC；
当∆ABC为钝角三角形时，作BC边长的高AD，
则AD=ABsin180°−∠ABC=ABsin∠ABC，
∴S=12BC∙AD=12acsin∠ABC；
当∆ABC为直角三角形时，上述结论依然成立。
（3）S=12a+b+c∙r
证明：S∆ABC=S∆AOB+S∆BOC+S∆AOC=12cr+12ar+12br=12a+b+c∙r
（4）S=a+b+c4R
证明：S=12absinC=12abc2R=a+b+c4R
四、正弦定理解决的两类问题
1、类型1：已知两角及一边解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论
2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
五、利用正弦定理判断三角形的形状
法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)
法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
题型一 正弦定理解三角形
【例1】（2022·高一课时练习）在中，若，，，则角的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】，，，
，
，或，或.故选：D
【变式1-1】．（2022·高一课时练习）在中，如果，那么的长为（ ）
A．72 B． C． D．30
【答案】D
【解析】在中，因为，所以，
又，所以．故选：D.
【变式1-2】（2022·高一课时练习）在中，若，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，因为，所以，
所以
，
由得．故选：C
【变式1-3】（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在中，角的对边分别为 ．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意在中，由正弦定理得，为外接圆半径，
故由,得 ，故选：B.
题型二 三角形解的个数判断
【例2】（2022·高一课时练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
【答案】A
【解析】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．故选：A
【变式2-1】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由正弦定理得，且，所以，即．
因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．
故选：B.
【变式2-2】（2022春·广西百色·高一校考期中）（多选）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解 B．，无解
C．，有两解 D．，有唯一解
【答案】AD
【解析】选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；
选项，由正弦定理得：，则，
再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，
故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得：，则，且，
由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得：，，
由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，方法1：∵，，∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，∴只有一解.
方法2：如图所示，∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；故选：C.
题型三 三角形的面积公式
【例3】（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在中，，，，且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以有，
解得，或，而已知，所以，
因此的面积为，故选：C
【变式3-1】（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得：，
由面积公式得：.故选：.
【变式3-2】（2022春·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考阶段练习）已知向量，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
,
，其中，
故，
，
故当时，即时，取最大值为.故选：C.
【变式3-3】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，，
即，
即，解得，
又因为，
所以，即，，
，故选：D
题型四 三角形的外接圆问题
【例4】（2022春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】设外接圆半径为，
根据正弦定理可得，
所以，即外接圆半径为.故选：D
【变式4-1】（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且， ，则外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】由，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，
又由，所以，
设外接圆半径为，可得，所以
所以外接圆的面积为.
【变式4-2】（2021春·安徽·高一泾县中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积满足，，则的外接圆周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
由余弦定理，得，所以
显然，所以，即，所以，
所以的外接圆半径，则外接圆周长为.
【变式4-3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
又因为：，
所以，
由正弦定理有：,
而,
又因为为钝角三角形，不妨设,则，
则,所以,
所以外接圆的半径.
题型五 正弦定理边角互化
【例5】（2022·高一课时练习）在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，∵，
∴
，
∵，∴，
∴，由正弦定理得，∴，
由余弦定理得，
解得，∴，∴．故选：A．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）在中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理知，
所以，
根据三角形成立的条件可知，解得，故选:D.
【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知分别为三个内角的对边，且，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理及得.
又因为在中，，
所以，整理得.
因为在，，所以，即.
又因为，所以.
又，所以.故选:A.
【变式5-3】（2022·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：
．
（2）由正弦定理得，
所以 ，．
同理，
，
从而
．
题型六 判断三角形的形状
【例6】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】，由正弦定理可知，，因为，
所以，所以，
即
所以，所以，，
因为、、是三角形内角，所以．
所以是等腰三角形．故选：A．
【变式6-1】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，若，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，即，则，
又满足，，
即，，
∴，∵，∴，则，
则的形状是等边三角形．故答案选：C．
【变式6-2】（2022春·天津·高一校联考期末）在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因为，所以
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，即是直角三角形.故选：A
【变式6-3】（2022·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理及题意，得，
．
∵，∴，
∴或，即或．
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D
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