高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理第2课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理第2课时导学案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝eq \r(2) B．b＝eq \r(2)，c＝1
C．b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2) D．b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)
A [∵eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(2)＋1,sin 45°＋sin 30°)＝2，∴b＝1，c＝eq \r(2)．]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
B [∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴sin B＝eq \f(b,a)sin A＝eq \f(24,18)sin 45°＝eq \f(2\r(2),3)＞eq \f(\r(2),2)．
又∵a＜b，∴B有两个解，即此三角形有两解．]
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，则sin B＝( )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(6),3) D．－eq \f(\r(6),3)
B [由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝eq \r(3)sin Bsin A，故sin B＝eq \f(\r(3),3)．]
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(eq \r(3)，－1)，n＝(cs A，sin A)，若m⊥n，且acs B＋bcs A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
A．eq \f(π,6)，eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)，eq \f(π,6)
C．eq \f(π,3)，eq \f(π,6) D．eq \f(π,3)，eq \f(π,3)
C [∵m⊥n，∴eq \r(3)cs A－sin A＝0，
∴tan A＝eq \r(3)，
又∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3)，
由正弦定理得sin Acs B＋sin Bcs A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝eq \f(π,2)，B＝eq \f(π,6)．]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B＝eq \f(π,2)，a＝eq \r(6)，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．eq \r(6) D．6
B [由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，①
又B＝eq \f(π,2)，所以a2＋c2＝b2．②
联立①②解得a＝c＝eq \r(6)，所以S＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \r(6)＝3．]
二、填空题
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
④ [①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]
7．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cs A＝________．
eq \f(15,17) [由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccs A＋2bc．
又S＝eq \f(1,2)bcsin A，∴eq \f(1,2)bcsin A＝2bc－2bccs A．
∴4－4cs A＝sin A，平方得17cs2A－32cs A＋15＝0．
∴(17cs A－15)(cs A－1)＝0．
∴cs A＝1(舍去)或cs A＝eq \f(15,17)．]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝________．
eq \f(21,13) [在△ABC中，由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13)．]
三、解答题
9．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq \f(2sin A－sin B,sin C)的值．
[解] 由条件得eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(1,5)，∴sin A＝eq \f(1,5)sin C．
同理可得sin B＝eq \f(3,5)sin C．
∴eq \f(2sin A－sin B,sin C)＝eq \f(2×\f(1,5)sin C－\f(3,5)sin C,sin C)＝－eq \f(1,5)．
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解] (1)由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，R为△ABC外接圆半径．
又bsin A＝eq \r(3)acs B，
所以2Rsin Bsin A＝eq \r(3)·2Rsin Acs B．
又sin A≠0，
所以sin B＝eq \r(3)cs B，所以tan B＝eq \r(3)．
又因为0(2)由sin C＝2sin A及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝2a．
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得9＝a2＋c2－ac，
所以a2＋4a2－2a2＝9，
解得a＝eq \r(3)，故c＝2eq \r(3)．
11．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A．[3eq \r(3)，6] B．(2，4eq \r(3))
C．(3eq \r(3)，4eq \r(3)) D．(3，6]
D [∵A＝eq \f(π,3)，∴B＋C＝eq \f(2,3)π．
∴AC＋AB＝eq \f(BC,sin A)(sin B＋sin C)
＝eq \f(3,\f(\r(3),2))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π－B))))
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin B＋\f(\r(3),2)cs B))
＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)π))，∴B＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5,6)π))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
∴AC＋AB∈(3，6]．]
12．(多选题)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰直角三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是直角三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
AD [对于A，∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan Atan B))＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
又由A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确；
对于B，若acs A＝bcs B，则sin Acs A＝sin Bcs B，则2sin Acs A＝2sin Bcs B，则sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，bcs C＋ccs B＝b，则sin B＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C不正确；
对于D，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，则tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确．故选AD．]
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则cs B＝________．
eq \f(\r(5),4) [在△ABC中，因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(5),2)b，,A＝2B，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A＝\f(\r(5),2)sin B，,sin A＝sin 2B＝2sin Bcs B，))
所以cs B＝eq \f(\r(5),4)．]
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C，则角C＝________；eq \r(3)sin A－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))的最大值为________．
eq \f(π,4) 2 [由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acs C．因为00，从而sin C＝cs C，则C＝eq \f(π,4)．
所以B＝eq \f(3π,4)－A，于是eq \r(3)sin A－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(3)sin A－cs(π－A)＝eq \r(3)sin A＋cs A＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))．
因为0从而当A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,3)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))取得最大值2．]
15．在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝3，其面积S∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，求eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))夹角的取值范围．
[解] 设|eq \(AB,\s\up7(→))|＝c，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝a，eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))的夹角为θ，则eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝3＝accs θ，所以ac＝eq \f(3,cs θ)．
因为S＝eq \f(1,2)acsin(π－θ)＝eq \f(3,2)tan θ，所以eq \f(3,2)≤eq \f(3,2)tan θ≤eq \f(3\r(3),2)，即1≤tan θ≤eq \r(3)．又θ∈(0，π)，所以eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(π,3)，所以eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))夹角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))．