苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理课文内容ppt课件

11.2　正弦定理

第1课时　正弦定理(1)

知识点1　正弦定理

三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即＝＝．

(1)正弦定理的适用范围是什么？

(2)正弦定理的主要功能是什么？

[提示]　(1)正弦定理对任意三角形都成立．

(2)正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．

1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[由正弦定理得，＝，所以＝．]

知识点2　应用正弦定理解三角形

应用正弦定理可以解两类三角形：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．

2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)

A．5  B．10  C．  D．5

B　[由正弦定理得，b＝＝＝10．]

类型1　定理证明

【例1】　在钝角△ABC中，∠A为钝角，证明正弦定理．

[证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，

根据正弦函数的定义知：

＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B．

∴CD＝bsin A＝asin B．

∴＝．

同理，＝．

故＝＝．

用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．

[跟进训练]

1．(对接教材P95T10)已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．

[解]　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即＝2R，同理＝2R，＝2R，

所以＝＝＝2R．

类型2　用正弦定理解三角形

【例2】　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c．

[解]　∵A＝30°，C＝45°，

∴B＝180°－(A＋C)＝105°，

又由正弦定理得：c＝＝10．

b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．

∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10．

正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

[跟进训练]

2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a．

[解]　由正弦定理得：sin C＝＝＝，

∵c>b，0°<C<180°，

∴C＝45°或135°．

当C＝45°时，A＝105°，

a＝＝＝＋1；

当C＝135°时，A＝15°，

a＝＝＝－1．

综上，得A＝105°，C＝45°，a＝＋1或A＝15°，C＝135°，a＝－1．

类型3　三角形形状的判断

【例3】　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

[解]　法一：(利用角的互余关系)∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

根据正弦定理＝＝，

得a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，

∴sin B＝．

∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：(利用角的互补关系)∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

根据正弦定理＝＝，

得a2＝b2＋c2，∴A是直角．

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，

∴sin(B－C)＝0．

又－90°<B－C<90°，

∴B－C＝0，∴B＝C，

∴△ABC是等腰直角三角形．

利用正弦定理判断三角形形状的两种途径

(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

[跟进训练]

3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．

[解]　因为b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，

所以由正弦定理得

sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C，

即sin Bsin C＝cos Bcos C，cos(B＋C)＝0，

所以B＋C＝90°，所以△ABC为直角三角形．

1．在△ABC中，若sin A>sin B，则有(　　)

A．a<b

B．a≥b

C．a>b

D．a，b的大小无法判定

C　[因为＝，

所以＝．

因为在△ABC中，sin A>sin B>0，

所以＝>1，

所以a>b．]

2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于(　　)

A．135°  B．90°  C．45°  D．30°

C　[由＝得sin A＝＝＝，

∴A＝45°或135°．

又∵a<b，

∴A<B，

∴A＝45°．]

3．在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为(　　)

A．等边三角形   B．等腰三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

C　[在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B，以及正弦定理可知，sin A cos C＋sin C cos A＝sin2 B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2 B，∵0<B<π，sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，∴三角形为直角三角形，故选C．]

4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)

A．6∶5∶4   B．7∶5∶3

C．3∶5∶7   D．4∶5∶6

B　[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，

∴＝＝．

令＝＝＝k(k>0)，

则解得

∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3．]

5．在△ABC中，若tan A＝，C＝120°，a＝1，则c＝________．

　[∵tan A＝，A∈(0，π)，

∴sin A＝，

由正弦定理得＝，

∴c＝×＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．正弦定理的表示形式有哪些？

[提示]　正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆半径)．

2．正弦定理可以解哪几种解三角形题型？

[提示]　正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．

3．利用正弦定理判断三角形形状的常用方法有哪些？

[提示]　(1)化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．

(2)化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2等)，进而确定三角形的形状．