数学必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数精品练习

第07讲  两角和与差的三角函数

知识点01  两角和与差的余弦公式

两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β（α，β∈R），C(α－β)

两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β（α，β∈R），C(α＋β)

【即学即练1】在中，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用余弦和角公式展开，代入即可.

【详解】因为在中，，，则，.

故选：D

【即学即练2】化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】.

故选：D

知识点02  两角和与差的正弦公式

两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（α，β∈R），S(α＋β)

两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（α，β∈R），S(α－β)

【即学即练3】（    ）

A． B． C． D．—

【答案】C

【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：C

【即学即练4】的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可

【详解】

故选：B

知识点03  两角和与差的正切公式

两角和的正切公式：tan(α＋β)＝  α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，T(α＋β)

两角差的正切公式：tan(α－β) ＝  α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，T(α－β)

【即学即练5】若，则的值为（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据正切的差角公式得，根据正余切的关系即可求解.

【详解】由得，

所以，

故选：C

【即学即练6】化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和与差的正切公式化简即可.

【详解】解：

.

故选：C.

考法01  两角和与差的余弦公式

【典例1】化简：

【答案】

【分析】应用和差角余弦公式及同角三角函数的平方关系化简求值即可.

【详解】

.

考法02  两角和与差的正弦公式

【典例2】已知，且，是方程的两个实根，求和的值．

【答案】，．

【分析】根据韦达定理即可得到，，变形计算可得，同理可得，代入计算，即可得到结果.

【详解】由韦达定理得，

再由得：

；

∴，

.

考法03  两角和与差的正切公式

【典例3】已知，，其中．

(1)求的值；

(2)求．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据题意由和差公式得出，联立，且，即可解出答案；

（2）求出的值，结合，即可得出答案.

【详解】（1），

即，

联立，且，

解得，．

（2）由小问1得，

则，

，则

则．

题组A  基础过关练

1．等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用和角余弦公式即可求出答案.

【详解】因为，

故选：C.

2．若且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案.

【详解】，故，

因为，所以，

所以.

故选：A

3．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两角和的正弦公式求值.

【详解】由，，，，

得，，

所以，

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.

【详解】因为，所以（1），

因为，所以（2），

（1）+（2）得，

∴.

故选：A．

5．化简：______．

【答案】

【分析】利用两角和的正切公式，化简可得.

【详解】

故答案为：

6．已知，是方程的两根，且，，则的值为______．

【答案】

【分析】结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案.

【详解】由于，是方程的两根，

所以，

所以.

故答案为：

7．化简：_______．

【答案】

【分析】根据两角和与差的余弦公式可求出结果.

【详解】

.

故答案为：.

8．计算：_______．

【答案】

【分析】逆用和角正弦公式化简求值即可.

【详解】.

故答案为：

9．证明：．

【答案】见解析.

【分析】把用角的和差公式展开.

【详解】

10．计算：

(1)；

(2)已知，求.

【答案】(1)；(2)

【分析】①根据两角和的正切公式,将,求出,然后代入即可.

②根据两角差的正切公式展开代入公式即可.

【详解】(1)

方法一,

方法二

(2)

题组B  能力提升练

1．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且.若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可.

【详解】，，

，，

则

.

故选：B

2．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据

求出；根据打开求解.

【详解】又

所以

故选：B

3．已知，是方程的两根，且，，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.

【详解】由题知，，是方程的两根，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

4．若，，即（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】由，得，

展开并整理得①，

由，

同理可得②，

由①②得.

故选：D

5．已知是方程的两根，且，则的值等于______________.

【答案】

【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和的正切公式进行求解即可.

【详解】已知是方程的两根，

所以有，

，

因为，

所以，

故答案为：

6．已知，，则______.

【答案】

【分析】将条件用两角和与差的余弦公式展开，然后作商，分子分母同时除以，则可将等式变为用表示，解关于的方程即可.

【详解】由已知

，分子分母同时除以得

，

解得.

故答案为：

7．已知，则________.

【答案】

【分析】根据题意先求出，然后通过拼凑角的方式得，再结合差角公式即可求解.

【详解】，

在第四象限，，

即，

所以，

故答案为：.

8．已知都为锐角，则的值为_______.

【答案】

【分析】首先利用角的变换得，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解.

【详解】因为都是锐角，所以，

，，

所以.

故答案为：

9．已知为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据已知条件求出、和，再根据并利用两角差的正弦公式可求出结果；

（2）根据（1）中的求出，再根据两角差的正切公式可求出结果.

【详解】（1）因为为锐角，所以，

因为，，

所以，，

，

所以.

（2）由（1）可知，，又为锐角，所以，

所以，

所以.

10．设，且.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）先使用对数运算的性质和换底公式将化简得到，再使用诱导公式和同角三角函数平方关系进行运算即可.

（2）将看作，用两角差的余弦公式求解即可.

【详解】（1）由对数运算性质和换底公式，

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∴

.

∴.

（2）∵，∴，

∵，∴，∴，∴，

∴

.

∴.

题组C  培优拔尖练

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解.

【详解】解：，

，

，

，

，

，

故选：A

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式和两角和与差的正弦公式即可求解.

【详解】

.

故选：C.

3．（多选）下列命题中正确的是（    ）

A．存在这样的和，使得

B．不存在无穷多个和，使得

C．对于任意的和，都有

D．不存在这样的和，使得

【答案】ACD

【分析】根据两角和的余弦公式逐一判断即可.

【详解】对A，由两角和的余弦定理为，

当或时，满足，可知存在这样的、，使得，故A正确；

对B，由，得．或，故B错误；

对C，对于任意的、，由两角和的余弦公式可得：，故C正确；

对D，不存在这样的、，使得，若存在，，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确.

故选: ACD.

4．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是（    ）

A．tan(A＋B)＝－ B．tan A＝tan B

C．cos B＝sin A D．tan Atan B＝

【答案】BCD

【分析】由三角形内角性质及和角正切公式可得tan(A＋B)＝且tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，结合已知即可判断各选项的正误.

【详解】由∠C＝120°，可知：A＋B＝60°，

∴tan(A＋B)＝＝，故A错误.

又tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，

∴tan Atan B＝①，故D正确；

由①联立tan A＋tan B＝，解得tan A＝tan B＝，

∴cos B＝sin A，故B、C正确．

综上，B、C、D正确．

故选：BCD.

5．已知函数，其中的最大值为，若存在实数、，使得对任意的实数，总有成立，则的最小值为______．

【答案】

【分析】化简函数的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x，总有成立，即半周期的整数倍，代入求最小值即可．

【详解】，

则，

因为，所以，

.

故答案为：.

6．设和是方程的两个实根，则的取值范围______．

【答案】

【分析】先求出的范围，利用根与系数的关系和两角和公式得到，利用单调性直接求出的取值范围.

【详解】由题意可得：，解得：且.

因为和是方程的两个实根，

所以，.

所以.

因为且，所以且.

所以的取值范围为.

故答案为：.

7．已知，是第三象限角，，求

(1)；

(2).

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及同角三角函数的商数关系及两角和的正切公式即可求解.

【详解】（1），，

，

是第三象限角，，

，

.

（2）由（1）知，，，，

，，

.

8．已知，.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.

（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，

可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.

【详解】（1）∵，

∴，解得.

（2）∵，∴，且，

∴，

∴，

∴，则，

∴，

又∵，∴.

9．已知是第四象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；(2)，

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解即可；

（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.

【详解】（1）因为，是第四象限角，

所以解得，

所以.

（2）；

.

10．已知函数．

(1)求函数的定义域；

(2)若函数为偶函数，求的值；

(3)是否存在，使得函数是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据解析式建立不等式求三角不等式的解即可；

（2）根据偶函数的定义，化简后利用三角函数恒成立即可得解；

（3）根据奇函数的定义化简，转化为恒成立，可分析此式不恒成立得解.

【详解】（1）要有意义，

则，即，解得，即，

所以函数的定义域为.

（2）因为为偶函数，

则

即恒成立，化简可得恒成立，

所以，

因为，所以.

（3）若函数为奇函数，

则有，

即，

即，

化简得，恒成立.

因为当时，，，，

，而，

所以不恒成立，

即不恒成立，

所以不存在，使函数是奇函数.