高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数优秀教学设计

编号：011     课题:§10.1.1  两角和与差的余弦

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的余弦公式．

2、利用两角和与差的余弦公式化简求值．

3、理解并掌握给值（式）求值．

4、理解并掌握给值求角问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值（式）求值；

难点：给值求角问题．

教学过程

基础知识点

两角和与差的余弦公式

【思考】

(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?

(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.

B. 对于任意实数,都不成立.

C. 对任意,都成立.

D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.

题2. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.

题3. cos 615°的值为    (     )

 A.         B.       C.        D.

关键能力·合作学习

类型一 利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)

【题组训练】

题4.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为        (       )

题5.cos 345°的值等于     (       )

题6.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.

【解题策略】

两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.

(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.

【补偿训练】

题7.求下列各式的值:

(1);

(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);

(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).

类型二 给值(式)求值(数学运算)

 角度1 “逆用”求值

【典例】题8.已知,则的值为       (      )

A.              B.             C.2             D.-1

 角度2 “拼凑角”求值

【典例】题9.(1)已知，求的值.

(2)为锐角,,求的值.

【变式探究】

题10.已知,且, 求的值.

题11. 已知, 求的值.

【解题策略】

解决三角函数的求值问题的关键点

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;

(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:

①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;

②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.

【题组训练】

题12.已知为锐角,β为第三象限角,且,

则值为       (     )

 A.              B.            C.           D.

题13.已知，则的值为________.

【补偿训练】题14.若,

则的值为       (     )

 A.              B.            C.        D.

类型三 给值求角问题(数学运算)

【典例】题15.已知,且满足,

求.

【解题策略】

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;

(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;

(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.

【跟踪训练】

题16.已知,则________.

题17.已知,且和均为钝角,则________.

课堂检测·素养达标

题18.cos 20°=     (      ) 

A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°

B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°

C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°

D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°

题19.计算的值是        (      )

A.           B.             C.           D.

题20.已知锐角满足,则 等于     (     )

题21.sin 75°=________.

题22.设都是锐角,且,求的值.

编号：011     课题:§10.1.1  两角和与差的余弦

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的余弦公式．

2、利用两角和与差的余弦公式化简求值．

3、理解并掌握给值（式）求值．

4、理解并掌握给值求角问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值（式）求值；

难点：给值求角问题．

教学过程

基础知识点

两角和与差的余弦公式

【思考】

(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?

提示:在两角差的余弦公式中,只要用-β替换β,便可以得到两角和的余弦公式.

(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?

提示:可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°.

B. 对于任意实数,都不成立.

C. 对任意,都成立.

D. cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1.

【答案】选ABD

提示:A×.cos(70°+40°)=cos 110°≠cos 70°-cos 40°.

B×.当-45°,β=45°时,cos(-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos -cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(-β)=cos -cos β.

C√.结论为两角和的余弦公式.

D×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos(60°-30°)=cos 30°=.

题2. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.

【解析】逆用两角和的余弦公式可得:

cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0.

答案:0

题3. cos 615°的值为    (     )

 A.         B.       C.        D.

【解析】选D.

cos 615°=cos(720°-105°)=cos (-105°)=cos 105°=cos(45°+60°)= .

关键能力·合作学习

类型一 利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)

【题组训练】

题4.cos 22°cos 38°-sin 22°sin 38°的值为        (       )

【解析】A.原式=cos(22°+38°)=cos 60°=.

题5.cos 345°的值等于     (       )

【解析】选C.cos 345°=cos(360°-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)

                     =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.

题6.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.

【解析】cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)

         =cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos 60°=.

答案:

【解题策略】

两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.

(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.

【补偿训练】

题7.求下列各式的值:

(1);

(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);

(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).

【解析】(1)

           .

(2)原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°

      =-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)=-cos 60°=.

(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos 60°=.

类型二 给值(式)求值(数学运算)

 角度1 “逆用”求值

【典例】题8.已知,则的值为       (      )

A.              B.             C.2             D.-1

【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.

 【解析】选B.

 角度2 “拼凑角”求值

【典例】题9.(1)已知，求的值.

(2)为锐角,,求的值.

【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.

【解析】(1)因为,所以,

所以.

(2)因为为锐角,所以.因为,

所以,因为为锐角,所以,

因为,所以,

所以,

所以

.

【变式探究】

题10.已知,且, 求的值.

【解析】因为,且,所以,

所以，

所以  

.

题11. 已知, 求的值.

【解析】因为,所以.

又因为,所以,

所以.

所以

【解题策略】

解决三角函数的求值问题的关键点

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;

(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:

①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;

②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.

【题组训练】

题12.已知为锐角,β为第三象限角,且,

则值为       (     )

 A.              B.            C.           D.

【解析】选A.因为为锐角,且,所以，              因为β为第三象限角,且,所以,所以

.

题13.已知，则的值为________.

【解析】因为,

所以

答案:

【补偿训练】题14.若,

则的值为       (     )

 A.              B.            C.        D.

【解析】选A.由,得,①

,②

①+②得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1.所以sin αsin β+cos αcos β=.所以cos(α-β)=.

类型三 给值求角问题(数学运算)

【典例】题15.已知,且满足,

求.

【解题策略】

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;

(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;

(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.

【跟踪训练】

题16.已知,则________.

【解析】因为,所以.

因为,所以,

所以

因为,所以 .

答案:

题17.已知,且和均为钝角,则________.

【解析】因为均为钝角,

所以.

所以.

由和均为钝角,得,所以.

答案:

课堂检测·素养达标

题18.cos 20°=     (      ) 

A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°

B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°

C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°

D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°

【解析】选B.cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°.

题19.计算的值是        (      )

A.           B.             C.           D.

【解析】选C.

.

题20.已知锐角满足,则 等于     (     )

【解析】选A.因为为锐角, ,所以

,所以

.

题21.sin 75°=________.

【解析】sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°

=

答案:

题22.设都是锐角,且,求的值.

【解析】因为都是锐角且,所以,

所以,又,所以,

所以，

所以

.