高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数教学课件ppt

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10.1.3　两角和与差的正切学 习 任 务核 心 素 养1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点) 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)　通过对两角和与差的正切公式的推导和应用，提升逻辑推理和数学运算素养．根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan(α－β)用tan α，tan β来表示？知识点　两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．T(α－β)：tan(α－β)＝．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示]　(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．1．tan 15°＝________；tan 75°＝________．2－　2＋　[tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－．tan 75°＝＝＝2＋．]2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________．1　[tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝．tan(α＋β)＝＝1．] 类型1　条件求值问题【例1】　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan．2α＝α＋β＋α－β，2β＝α＋β－α－β，tan可以用tan 2α表示出来.[解]　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝，tan＝＝＝．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.[跟进训练]1．(1)已知α∈，sin α＝，求tan的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan(α＋β)的大小．[解]　(1)因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝＝＝－，故tan＝＝＝．(2)由题图可知tan  α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝＝＝1． 类型2　给值求角【例2】　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tanα＋β的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈，所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝－．1．给值求角的一般步骤(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．选取函数时，应遵照以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．[跟进训练]2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．[解]　由已知得cos α＝，cos β＝，又α，β是锐角，则sin α＝＝，sin β＝＝．所以tan α＝＝7，tan β＝＝．(1)tan(α＋β)＝＝＝－3．(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝． 类型3　T(α±β)公式的变形及应用【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解]　∵tan A＋ tan B＝tan Atan B－1，∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－．又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝．∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．[跟进训练]3．(1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值．[解]　(1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝．(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，∴tan(α＋β)＝＝．又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°．1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于(　　)A．  B．－  C．1  D．－1A　[∵tan(α－β)＝＝－2，tan β＝3，∴＝－2，∴tan α＝，故选A．]2．＝(　　)A．tan 57°  B．－tan 57°  C．1  D．－1C　[原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1．]3．若tan＝2，则＝(　　)A．  B．  C．  D．1C　[由tan＝＝2，得tan  α＝，∴＝＝＝．]4．求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________．1　[tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1．]5．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－，则tan(α＋β)的值为________；2α－β的值为________．　－　[∵cos β＝－，β∈(0，π)，∴sin β＝＝＝，∴tan β＝＝＝－．∴tan(α＋β)＝＝＝．∴tan 2α＝＝＝－．∴tan(2α－β)＝＝＝－1．∵tan α＝2，α∈(0，π)，∴α∈，∵tan β＝－＜0，且β∈(0，π)，∴β∈，∴2α－β∈，∵tan(2α－β)＝－1，∴2α－β＝－．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．试写出T(α±β)的公式，你能结合T(α±β)的公式完成下列空格．(1)T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________．tan αtan β＝______________．(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝______________．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________．tan αtan β＝______________．[提示]　(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－；(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)，tan αtan β＝－1．2．当α＋β＝kπ＋，k∈Z时，(1＋tan α)(1＋tan β)是定值吗？[提示]　当α＋β＝＋kπ，k∈Z时，tan(α＋β)＝＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．