苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数复习练习题

10.1.2　两角和与差的正弦

基础过关练

题组一　给角求值

1.(2020江苏常州教学联盟高一期中)cos 10°sin 70°-sin 10°sin 20°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.- C. D.-

2.计算sin 15°+sin 75°的值是　　　　.

3.化简:cos+sin=　　　　.

4.(2020江苏沭阳如东高级中学阶段检测)化简:sincos-cossin.

题组二　给值求值

5.若cos α=-,α是第三象限角,则sin=(　　)

A.- B.

C.- D.

6.设A,B,C是△ABC的内角,且cos A=,sin B=,则sin C=(　　)

A.或- B.

C.或- D.

7.已知0<α<<β<π,sin α=,cos(α+β)=-,则sin β的值为(　　)

A.或0 B.0

C. D.

8.若cos θ=,则sin=　　　　　,sin=　　　　.

9.已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求cos的值;

(2)求sin β的值.

题组三　给值求角

10.(2020江苏前黄高级中学期中)已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为(　　)

A. B.- C. D.-

11.已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=　　　　.

题组四　辅助角公式的应用

12.已知sin+cos α=-,则cos=(　　)

A.- B. C.- D.

13.函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

14.(2020江苏响水中学高一期中)函数f(x)=sin 2x+cos+3的最小值是　　　　.

15.若sin x+cos x=,则锐角x=　　　　.(用弧度表示)

能力提升练

题组一　利用两角和与差的正弦公式化简求值

1.()已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则lo=(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

2.(2020河南高三期末,)已知-<α-β<,sin α+2cos β=1,cos α-2sin β=,则sin=(　　)

A. B. C. D.

3.(2020江苏包场中学高一阶段测试,)已知sin[2(α+γ)]=nsin 2β,则=(　　)

A. B. C. D.

4.(2020天津一中高一上期末,)已知0<β<α<,点P(1,4)为角α的终边上一点,且sin αsin+cos αcos=,则角β=(　　)

A. B. C. D.

5.()已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin的值为　　　　.

6.(2020江苏梁丰高级中学高一期末,)已知sin+α=,cos=,且0<α<<β<,则cos(α+β)=　　　　.

7.(2019浙江宁波高一期末,)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于点A,B.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若α∈,β∈,求2α-β的值.

题组二　两角和与差的正弦公式的综合应用

8.()在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是(　　)

A.等边三角形

B.不含60°角的等腰三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

9.(2020江苏海州高级中学高一月考,)如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在弧BC上运动,=m+n,则m-n的最大值是(　　)

A.1 B. C.2 D.2

10.(2020广西桂林高一期末,)若角A为不等边三角形ABC的最小内角,则函数 f(A)=的值域为　　　　.深度解析 

11.()定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=　　　　.

12.(2020江苏海门实验中学高一期末,)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.

(1)求f 的值;

(2)若α,β∈, f =, f =-,求cos(α+β)的值.

答案全解全析

10.1.2　两角和与差的正弦

基础过关练

1.A　cos 10°sin 70°-sin 10°sin 20°=sin 70°·cos 10°-cos 70°sin 10°=sin(70°-10°)=sin 60°=.

2.答案　

解析　sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°·cos 30°=.

3.答案　cos α

解析　cos+sin

=sin+sin

=2sincos α=cos α.

4.解析　原式=sincos-sincos

=sin

=sin

=sincos-cossin=.

5.C　因为cos α=-,α是第三象限角,

所以sin α=-=-,

所以sin=sin αcos+cos αsin=-×+×=-.

6.D　∵cos A=,0<A<π,

∴A为锐角,且sin A==.

又sin B=<sin A,∴B<A,

∴B为锐角,且cos B==.

∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A·cos B+cos Asin B=.

7.D　∵0<α<<β<π,∴<α+β<,

∵sin α=,cos(α+β)=-,

∴cos α=,sin(α+β)=±.

则sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=或0.

∵<β<π,∴sin β=.

8.答案　;

解析　因为cos θ=,

所以sin θ==,

所以sin=sin θcos+cos θsin

=×=,

sin=sin θcos-cos θsin

=×-×=.

9.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==,

∴cos=cos αcos +sin αsin=×+×=.

(2)∵α,β均为锐角,

∴α+β∈(0,π),

由cos(α+β)=,得

sin(α+β)==,

∴sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos (α+β)sin α

=×-×=.

10.B　∵α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,

∴cos α=,sin β=.

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β

=×-×=-.

又∵α,β均为锐角,

∴-<α-β<.

∴α-β=-.

11.答案　

解析　∵α为锐角,sin α=,

∴cos α=.

又β为锐角,∴-<α-β<,

∵sin(α-β)=-,

∴cos(α-β)=,

∴sin β=sin[α-(α-β)]

=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

=×-×=.

又∵β为锐角,∴β=.

12.C　∵sin+cos α=-,

∴cos α+sin α+cos α=-,

即sin α+cos α=-,

∴sin α+cos α=-,

即sin=-,

∴cos=cos=sin=-.

13.D　f(x)=sin x-cos x=2sin x-cos x=2sin,

令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,

则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,

∵x∈[-π,0],∴函数f(x)的单调递增区间是.

14.答案　2

解析　f(x)=sin 2x+cos+3=sin 2x+cos 2x-sin 2x+3=sin 2x+cos 2x+3=sin+3,

∵sin∈[-1,1],

∴f(x)min=2.

15.答案　

解析　因为sin x+cos x

=2

=2sin=,

所以sin=,

因为x∈,

所以x+∈,

所以x+=,所以x=.

能力提升练

1.B　∵sin(α+β)=,sin(α-β)=,

∴sin αcos β+cos αsin β=,①

sin αcos β-cos αsin β=,②

由①②得sin αcos β=,cos αsin β=,

∴=5,∴lo=lo52=4.

2.A　将sin α+2cos β=1,cos α-2sin β=两个等式两边分别平方再相加,得5+4sin(α-β)=3,∴sin(α-β)=-,∵-<α-β<,∴α-β=-,即α=β-,

代入sin α+2cos β=1,

得sin=1,即sin=.

3.D　记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=nsin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=nsin(β+δ)cos(β-δ)+ncos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β),得tan(δ+β)+tan(δ-β)=ntan(β+δ)-ntan(δ-β),于是=.

4.D　由题意知|OP|=7(O为坐标原点),

∴sin α=,cos α=.

由sin αsin+cos αcos+β=,得sin αcos β-cos αsin β=,

∴sin(α-β)=.

∵0<β<α<,∴0<α-β<,

∴cos(α-β)==,

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.

∵0<β<,∴β=,故选D.

5.答案　-

解析　∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,∴sin β=-,

又β是第三象限角,

∴cos β=-=-.

∴sin=sin βcos+cos βsin=-×+×=-.

6.答案　-

解析　∵0<α<<β<,

∴<+α<π,-<-β<0.

又∵sin=,cos=,

∴cos=-,sin=-.

∴cos(α+β)=sin

=sin

=sincos-cos+α·sin

=×-×=-.

7.解析　(1)由A,B-,,得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,

则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.

(2)由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos α·cos α-sin αsin α=-,sin 2α=sin αcos α+cos αsin α=.

∵cos 2α<0,α∈,∴2α∈.∵β∈,∴2α-β∈.

又sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β

=×-×=-,

∴2α-β=-.

8.D　∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),

∴sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,

∴sin Acos B+cos Asin B=1,

即sin(A+B)=1,∴sin C=1,

又0<C<π,∴C=,

∴△ABC为直角三角形,故选D.

9.C　以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(0,0),B(1,0),C,

∴=(1,0),=,

设P(cos θ,sin θ),0°≤θ≤150°,

则=(cos θ,sin θ).

∵=m+n,

∴(cos θ,sin θ)=m(1,0)+n=,

∴cos θ=m-n,sin θ=,

∴m=cos θ+sin θ,n=2sin θ,

∴m-n=cos θ+3sin θ-2sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+60°),

∵0°≤θ≤150°,∴60°≤θ+60°≤210°,

∴当θ+60°=90°,即θ=30°时,m-n取得最大值2.

10.答案　(0,-1]

解析　由已知得A∈,

设t=sin A+cos A,则t=sin A+cos A=sinA+,由A∈得A+∈,,故t∈(1,],又2sin Acos A=t2-1,

所以f(A)===t-1∈(0,-1].

陷阱分析　解决同时含sin x±cos x与sin xcos x形式的函数的最大(小)值问题时,常用换元法,即令t=sin x±cos x,若t=sin x+cos x,则t=sin,且sin xcos x=.解题时要注意t的范围,不能默认为t∈R.

11.答案　

解析　由题意,得sin αcos β-sin βcos α=,∴sin(α-β)=.

∵0<β<α<,∴0<α-β<,

∴cos(α-β)==.

∵cos α=,0<α<,∴sin α=.

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,

又∵0<β<,∴β=.

12.解析　(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=sin.

因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π,

所以T=2π,又ω>0,故ω==1,

所以f(x)=sin.

所以f=sin=sin-·cos+cossin=.

(2)由(1)得f =sin α=, f=sin(β+π)=-sin β=-,所以sin β=.因为α,β∈,所以cos α==,cos β==,所以cos(α+β)=cos αcos β-

sin αsin β=×-×=-.