初中数学第8章 幂的运算8.3 同底数幂的除法优秀课后测评

8.3 同底数幂的除法

• 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。

（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

【注意事项】

1）0不能做除数的底数。

2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。

4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）

【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。

• 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0）
• 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，

即（a≠0，n是正整数）.

【题型一】同底数幂的除法

【典题】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期末）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．

【详解】解：=，

故选：D．

【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·广东江门·八年级校考期中）若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（    ）

A．5 B．3 C．15 D．10

【答案】A

【分析】根据同底数幂的除法，由3x＝15，3y＝3，可得3x﹣y的值，本题得以解决．

【详解】解：∵3x＝15，3y＝3，3x﹣y×3y＝3x，

∴3x﹣y＝3x÷3y＝15÷3＝5，

故选：A．

【点睛】本题考查同底数幂的乘法与除法，熟练掌握法则是解题的关键．

2．（）（2022秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）(　　 　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】原式=.

故选C.

3．（）（2022秋·四川眉山·八年级统考期末）已知，，则代数式值是（    ）

A．3 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．

【详解】解：

两式相减，可得

故选：B．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．

4．（）（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案．

【详解】解：∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

故选C．

【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键．

5．（）（2022秋·福建泉州·八年级校联考期中）一般地，个相同的因数相乘，记为，其中称为底数，称为指数；若已知，易知，若，则该如何表示？一般地，如果且，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．如，则叫做以为底的对数，记为；故中，．

(1)熟悉下列表示法，并填空：

，

，

，

，

，

，

，

______，计算：______；

(2)观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现______；（用对数表示结果）

(3)于是我们猜想：______且，，请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论；

(4)根据之前的探究，直接写出______．

【答案】(1)4，5

(2)

(3)，证明见解析

(4)

【分析】（1）根据指数和对数的定义进行解答即可；

（2）由（1）中结果可得答案；

（3）利用“指数”和“对数”的定义，以及同底数幂的乘法进行计算即可；

（4）利用（3）中的方法以及同底数幂的除法进行计算即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

故答案为：，；

（2）解：由（1）可得，，

故答案为：；

（3）解：，

证明：设，则，

∴，

即，

∴，

∴；

故答案为：；

（4）解：，

证明：设，则，，

∴，

即，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，掌握同底数幂的乘除法的计算法则以及指数与对数的定义是正确解答的前提．

6（）（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）已知：．

(1)求的值．

(2)求的值．

(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系．

【答案】(1)9

(2)27

(3)c=2a+b

【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；

（2）根据同底数幂的乘、除法则进行解答即可；

（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．

（1）

解：∵=3，

∴；

（2）

解：∵=3，=8，=72

∴；

（3）

解：∵，

∴，

即c=2a+b．

【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

【题型二】幂的混合运算

【典题】（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可．

【详解】A、，此项符合题意；

B、，此项不符合题意；

C、， 此项不符合题意；

D、，此项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）下列运算正确的是（　　）

A．a3•a4＝a12 B．（a3）2＝a5

C．（3a2）3＝27a6 D．a6÷a3＝a2

【答案】C

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．

【详解】A．a3•a4=a7，故本选项不合题意；

B．(a3)2=a6，故本选项不合题意；

C．(3a2)3=27a6，正确，故选项C符合题意；

D．a6÷a3=a3，故本选项不合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

2．（）（2022秋·吉林·八年级期末）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是_____．

【答案】yang8888

【分析】根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．

【详解】解：根据前面两个等式，

王⊕=wang1314，

浩⊕=hao31520，

得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．

（x2y）4（y2z44）2=x8y4•y4z88=x8y8z88，

∴阳⊕=yang8888．

故答案为：yang8888．

【点睛】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．

3．（）（2022秋·广西·八年级广西大学附属中学校考期中）计算：．

【答案】

【分析】幂的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．

4．（）（2020秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）已知，，（其中为任意实数）

（1）____，____；

（2）先化简再求值：，其中；

（3）若，请判断是否为同底数幂的乘法运算，试说明理由．

【答案】（1），；（2），4；（3）是，理由见解析．

【分析】（1）根据幂的乘方运算的逆运算即可求解；

（2）先通过条件求出的值，再代入化简结果即可；

（3）根据幂的乘方运算法则得出，进一步得出两个底数相等即可．

【详解】（1），，即，解得：；

由，得：，

，；

（2）===，

由，，利用同底数幂相除得：，

即：，得：，

将，代入化简结果得：原式=；

（3）由，得：，由，得：，

，即：，得：，整理可得：，

 的底数相同，即为同底数幂的乘法运算．

【点睛】本题考查了整式的混合运算、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题关键．

【题型三】与零指数幂有关的计算

【典题】（2022秋·重庆璧山·八年级校联考期中）若（x﹣1）0＝1，则x的取值范围是（　　）

A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x＞1

【答案】B

【分析】由 可得从而可得答案．

【详解】解：

故选：

【点睛】本题考查的是零次幂的含义，掌握零次幂的含义是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（   ）

A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝

【答案】C

【分析】根据零次幂的运算法则可知底数不为0，据此即可求得x的取值范围．

【详解】（2x-1）0有意义，则，

即．

故选C．

【点睛】本题考查了零次幂，理解是解题的关键．

2．（）（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如果，那么下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用零指数幂的性质分别分析得出结论．

【详解】A、，故此选项不合题意；

B、，故此选项不合题意；

C、，故此选项不合题意；

D、，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

【题型四】与负指数幂有关的计算

【典题】（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）2022﹣1的倒数是（　　）

A． B． C．2022 D．﹣2022

【答案】C

【分析】先根据负整数指数幂的运算法则求出2022﹣1的值，然后再求出它的倒数即可．

【详解】解：∵2022﹣1，

∴2022﹣1的倒数是：2022，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数的定义是解题关键．倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．

巩固练习

1．（）（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ）

A．＜＜ B．＜＜

C．＜＜ D．＜＜

【答案】A

【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可．

【详解】解：∵=6，=1，=9，

又∵1＜6＜9，

∴＜＜．

故选A．

【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0实数的0次幂等于1．

2．（）（2022秋·湖南益阳·八年级统考期末）计算的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据负整数指数幂运化为，再根据积的乘方，幂的乘方法则计算即可．

【详解】解：．

故选：A．

【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．

3．（）（2022秋·天津·八年级天津市第七中学校考期末）计算的结果是（　　）

A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣4

【答案】C

【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算即可．

【详解】解：原式＝1+2

＝3，

故选：C．

【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握是解题的关键．

4（）（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）若，且，则的值为_______．

【答案】##0.25

【分析】根据绝对值的意义得出，根据，得出，求出a的值，即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出，是解题的关键．

5．（）（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期中）计算：__________．

【答案】

【分析】根据整数指数幂的运算进行计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，解题的关键是掌握负指数幂的意义，即负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数．

6．（）（2022秋·北京丰台·八年级期末）计算：．

【答案】

【分析】先计算绝对值、负指数和0指数，再加减即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了含负指数和0指数的实数运算，解题关键是明确负指数和0指数的算法，准确进行计算．

7．（）（2022秋·广西来宾·八年级校考期中）计算

【答案】6

【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，乘方化简，再计算乘法，最后计算加减，即可求解．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

8．（）（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）计算：

【答案】

【分析】先用立方根、负整数次幂、绝对值、零次幂的知识化简，然后再计算即可．

【详解】解：

=

=

=．

【点睛】本题主要考查了立方根、负整数次幂、绝对值、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．

【题型五】用科学记数法表示绝对值小于1的数

【典题】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）

A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m

【答案】C

【分析】根据科学记数法的表示计算即可；

【详解】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）2020年，引发疫情的冠状病毒被命名为SARS-CoV-2的新型冠状病毒．形态结构冠状病毒粒子呈不规则形状，直径约0.00000022m，用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】解：0.00000022=2.2×10-7．

故选：B．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

2．（）（2022秋·黑龙江·八年级校考期末）用科学记数法表示0.000000202是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：．

故选：D．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是是掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【题型六】还原用科学记数法表示绝对值小于1的数

【典题】（2022秋·广东广州·八年级统考期末）用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ）

A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056

【答案】A

【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到．

【详解】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056．

故选：A．

【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

巩固练习

1．（）（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．

【答案】

【分析】利用绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算求解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

2．（）（2021春·河南新乡·八年级校考期中）式子①；②；③；④．其中正确的式子有____________．（填序号）

【答案】②

【分析】利用负整数指数幂，同底数幂的除法的法则，科学记数法对各式进行运算即可判断．

【详解】解：①，故式子①不正确，不符合题意；

②，故式子②正确，符合题意；

③，故式子③不正确，不符合题意；

④，故式子④不正确，不符合题意.

故答案为：②．

【点睛】本题考查负整数指数幂，同底数幂的除法，科学记数法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．