【同步讲义】人教版数学八年级上册-（知识点+基础练+提高练）【15.1 分式】 讲义

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第15章《分式》
15.1 分式

知识点1：分式有意义的条件
1．（2022秋•安乡县期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：
x的取值
﹣1
1
c
d
分式的取值
无意义
0
﹣1
1
其中选项错误的是（　　）
A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3
解：A．根据表格数据可知：
当x＝﹣1时，分式无意义，
即x+a＝0，
所以﹣1+a＝0，
解得a＝1．
所以A选项正确，不符合题意；
B．当x＝1时，分式的值为0，
即＝0，
解得b＝2，
所以B选项正确，不符合题意；
C．当x＝c时，分式的值为﹣1，
即＝﹣1，
解得c＝，
所以C选项错误，符合题意；
D．当x＝d时，分式的值为1，
即＝1，
解得d＝3，
所以D正确，不符合题意．
故选：C．
2．（2022秋•莱州市期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意；
B．当a＝0时，分式没有意义．故本选项不合题意；
C．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意；
D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式总有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2022秋•荣成市校级月考）当x为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．当x＝0时，分式没有意义，故本选项不合题意；
B．因为x2≥0，所以x2+4＞0，所以分式一定有意义，故本选项符合题意；
C．当x＝﹣2时，分式没有意义，故本选项不合题意；
D．当x＝±2时，分式没有意义，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（2022•萧山区开学）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息：
x的取值
﹣2
0.4
q
分式的值
无意义
0
3
则q的值是 　4　．
解：由表格可知：当x＝﹣2时x+m＝0，且当x＝0.4时，5x+n＝0，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴分式为，
当x＝q时，＝3，
解得q＝4，
经检验，q＝4是分式的解，
故答案为：4．
5．（2021秋•信都区月考）已知：代数式．
（1）当m为何值时，该式无意义？
（2）当m为何整数时，该式的值为正整数？
解：（1）由题意得：2﹣m＝0，
解得：m＝2；

（2）∵代数式的值为正整数，
∴2﹣m＝1或2﹣m＝2，
解得：m＝1或0．
6．（2018秋•宜都市期末）若式子无意义，求代数式（y+x）（y﹣x）+x2的值．
解：∵式子无意义，
∴3y﹣1＝0，
解得y＝，
原式＝y2﹣x2+x2
＝y2
＝（）2
＝．
知识点2：分式的值为零的条件
7．（2022秋•张店区校级月考）分式的值是零，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．8 D．﹣8
解：根据题意，得2x﹣6＝0．
解得x＝3．
当x＝3时，x+8＝11≠0，
所以x＝3符合题意．
所以分式的值是零，则x的值为3．
故选：B．
8．（2022秋•长安区校级月考）若分式的值为零，则m＝（　　）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．0
解：由题意得：|m﹣5|＝0且m+5≠0，
解得：m＝5，
故选：B．
9．（2022秋•新宁县校级月考）当x　≠1　时，分式有意义；当x＝　0　时分式的值等于0．
解：分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1；
当分式的值等于0，
则x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0．
故答案为：≠1；0．
10．（2022春•伊川县月考）若分式的值为0，则x的值为 　9　．
解：由题意可知，x﹣9＝0且9+x≠0
所以x＝9，
故答案为：9．
11．（2018春•锦江区校级期中）（1）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
（2）当分式值等于零时，对多项式4﹣m2+xmn﹣n2进行分解因式．
解：（1），
解①得：x≥﹣1；
解②得：x＜2，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
则该不等式组的整数解为：﹣1，0，1；

（2）∵分式值等于零，
∴|x|﹣2＝0且x+2≠0，
解得：x＝2，
则4﹣m2+xmn﹣n2
＝4﹣m2+2mn﹣n2
＝4﹣（m2﹣2mn+n2）
＝4﹣（m﹣n）2
＝（2+m﹣n）（2﹣m+n）．
12．（2014春•泰州校级期中）当x取什么数时，分式的值为0．
解：由＝0，得
，解得x＝1，x＝﹣1（不符合题意要舍去），
当x＝1时，的值为零．
知识点3：分式的值
13．（2022春•南安市期中）已知a2﹣4a+1＝0，则分式的值是（　　）
A．7 B．14 C． D．
解：∵a2﹣4a+1＝0且a≠0，
∴a+＝4，
∴（a+）2＝a2+2+＝16，
∴a2+＝14，
∴原式＝＝，
故选：D．
14．（2022春•海曙区校级期中）已知x2﹣4x﹣1＝0，则分式的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．1
解：∵x2﹣4x﹣1＝0且x≠0，
∴x﹣＝4，
∴（x﹣）2＝x2﹣2+＝16，
∴x2+＝18，
∴原式＝
＝
＝．
故选：A．
15．（2022秋•蓬安县期中）若的值为整数，则正整数a的值为 　1，2，5　．
解：＝＝2+，
由题意得：a+1为6的约数，
即：±1，±2，±3，±6，
∴正整数a的值为：1，2，5，
故答案为：1，2，5．
16．（2022秋•丰城市期中）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　2或4或﹣10或16　．
解：＝＝2x+11+，
∵分式的值为整数，
∴为整数，
∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16．
故答案为：2或4或﹣10或16．
17．（2022秋•广饶县校级月考）阅读理解
例题：已知实数x满足x+＝4，求分式的值．
解：∵x+＝4．
∴的倒数＝x++3＝4+3＝7
∴＝
（1）已知实数a满足a+＝5，求分式的值．
（2）已知实数b满足b+＝9，求分式的值．
解：（1）∵a+＝5，
∴的倒数＝3（a+）+5＝20，
∴＝；
（2）b+＝9，
∴b+1+＝10，
∴的倒数＝＝（b+1+）+3＝13，
∴＝．
知识点4：分式的基本性质
18．（2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝﹣，＝＝，
∴选项A、选项B、选项D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
19．（2022春•历城区期中）如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大10倍
C．扩大20倍 D．缩小为原来的
解：＝，
故选：B．
20．（2021秋•汉寿县期末）若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为 　8　．
解：由题意得：
＝4，
∴＝＝＝8，
∴若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为8，
故答案为：8．
21．（2021秋•古浪县校级期末）①　6a2　②　a﹣2　．
解：①分母5xy变形成10axy，是乘以2a，因而分子是3a•2a＝6a2；
②分子a+2变形成1，是除以a+2，分母应进行相同的变化，因而分母是a﹣2．
故本题答案为：6a2，a﹣2．
22．（2022春•封丘县月考）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝方法2：xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy得，
原式＝＝…
（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变　．
（2）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
（3）若b＝ab+a（a，b都不为0），请直接写出的值．
解：（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵xy≠0，
∴原式＝
＝
＝，
∵﹣＝2，
∴﹣＝﹣2，
∴原式＝＝﹣；
（3）∵b＝ab+a，
∴a﹣b＝﹣ab，
∴＝＝＝＝1．
知识点5：约分
23．（2022春•儋州校级期末）约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
解：＝＝．
故选：A．
24．（2022秋•合浦县期中）将分式约分时，分子分母同时除以（　　）
A．5m B．5mx C．mx D．5mx2
解：＝，所以将分式约分时，分子分母同时除以5mx2．
故选：D．
25．（2022秋•昌平区期中）约分：＝　　，＝　　．
解：＝，
＝＝．
故答案为：，．
26．（2021秋•河西区期末）约分的结果为 　x﹣y　．
解：
＝
＝x﹣y．
27．（2022秋•泰山区校级月考）约分：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
解：（1）＝＝．
（2）＝﹣＝﹣2（y﹣x）2．
（3）＝＝．
（4）＝＝．
知识点6：通分
28．（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．＝
C．＝
D．＝
解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、＝，通分正确；
C、＝，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；
故选：D．
29．（2017秋•高唐县校级期中）小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（a≠b），则谁走完全程所用的时间较少？（　　）
A．小明 B．小刚 C．时间相同 D．无法确定
解：设全程为1，小明所用时间是＝；
设小刚走完全程所用时间是x小时．根据题意，得
ax+bx＝1，
x＝．
则小刚所用时间是．
小明所用时间减去小刚所用时间得
﹣＝＞0，即小明所用时间较多．
故选：B．
30．（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则＝　　，＝　　．
解：＝，＝．
故答案为：，．
31．（2021秋•宣化区期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为 　6x2　．
解：因为分与分式的公分母是2（x+y）（x﹣y），所以分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为3x2×2＝6x2．
故答案是：6x2．
32．（2022•丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
解：（1），，；
（2），，．
33．（2019秋•玉州区期末）（1）通分：和；
（2）约分：．
解：（1）＝，＝；
（2）原式＝＝．
知识点7：最简分式
34．（2022秋•莱西市期中）下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、＝，所以不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意．
故选：D．
35．（2022春•封丘县月考）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：，，＝其中是最简分式的有：共1个．
故选：B．
36．（2022秋•张店区校级月考）下列各式中，最简分式有 　2　个．
①；②；③；④；⑥
解：①、③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，符合题意；
②的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；
④的分子、分母中含有公因式（5+2a），不是最简分式，不符合题意；
⑥的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；
故答案为：2．
37．（2022春•洪泽区期中）给出下列分式：其中最简分式有 　（2）　．（填序号）
解：（1）＝；
（3）＝＝2a+b；
（4）＝﹣1，
（5）＝＝；
则最简分式有（2）；
故答案为：（2）．
38．（2018春•濮阳期末）自学下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0
反之：（1）若＞0，则或
（2）若＜0，则　　或　　．
根据上述规律
（1）求不等式＜0的解集．
（2）直接写出一个解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
解：（2）∵两数相除，同号得正，异号得负，
＜0，
∴或
故答案为：，
（1）由题意得：或
第一个的解集为﹣2＜x＜﹣1，第二个不等式组无解，则原分式不等式的解集为﹣2＜x＜﹣1．

（2）∵解集为x＞3或x＜1，
∴＜0（不唯一）．
知识点8：最简公分母
39．（2022春•邓州市期中）分式与的最简公分母是（　　）
A．m2（m﹣1） B．m（m﹣1） C．m﹣1 D．m
解：与的最简公分母是m2（m﹣1）．
故选：A．
40．（2022春•深圳期中）分式与的最简公分母是（　　）
A．2（x﹣1） B．x2﹣1 C．x﹣1 D．2（x﹣1）2
解：分式与的最简公分母是2（x﹣1），
故选：A．
41．（2022秋•通州区期中）分式，的最简公分母是 　10bc2　．
解：分式，的最简公分母是10bc2．
故答案为：10bc2．
42．（2022秋•任城区校级月考）下列三个分式中的最简公分母是 　x（x﹣1）2（1+x）　．
解：三个分式中的最简公分母是x（x﹣1）2（1+x），
故答案为：x（x﹣1）2（1+x）．
43．阅读下列解题过程，回答下列问题：
例如：求，的最简公分母．
解：第一步：1，，；
第二步：xy2，，3；
第三步：x2y2，2y，3x．
∴，的最简公分母是x2y2．
请用以上方法解决下列问题：
（1）求，，的最简公分母；
（2）求，，的最简公分母．
解：（1），，的最简公分母abc；

（2），，的最简公分母12x3y2z3