初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定精品练习题

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第12章《全等三角形》

12.2 三角形全等的判定

知识点1：全等三角形的判定

【典例分析01】（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠DAE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DAE的是（　　）

A．AC＝DE B．BC＝AE C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠ADE

解：A、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故A符合题意；

B、添加BC＝AE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故B不符合题意；

C、添加∠C＝∠E，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故C不符合题意；

D、添加∠BAC＝∠ADE，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故D不符合题意．

故选：A．

【变式训练1-1】（2021秋•覃塘区期末）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（　　）

A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD

解：添加AC＝BD，理由如下：

在△ABC和△BAD中，

，

∴△ABC≌△BAD（SAS），

故选：D．

【变式训练1-2】（2021秋•海曙区期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　．（只需写出一种情况）

解：添加的条件是∠A＝∠D，理由如下：

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，

即∠DBE＝∠ABC，

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（ASA），

故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．

【变式训练1-3】（2021秋•延庆区期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是　CO＝DO（答案不唯一）　．

解：添加CO＝DO，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

故答案为：CO＝DO（答案不唯一）．

【变式训练1-4】（2022•齐齐哈尔三模）如图所示，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．已知AC＝DF，BE＝CF，请你添加一个适当的条件　AB＝DE　，使△ABC≌△DEF（只需添加一个即可）

解：∵BE＝CF，

∴BC＝EF，且AC＝DF，

所以当AB＝DE时，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

或当∠ACB＝∠DFE时，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

所以可添加AB＝DE或∠ACB＝∠DFE，

故答案为：AB＝DE．

【变式训练1-5】（2021秋•密山市期末）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．

证明：在△ABD和△ACD 中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

【变式训练1-6】（2021•普陀区校级开学）如图，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．

证明：∵∠DAB＝∠EAC，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

在△ACD和△AEB中，

，

∴△ACD≌△AEB（SAS）．

知识点2：直角三角形的判定

【典例分析02】（2022春•清远期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：　AB＝BC　（答案不唯一），使△ADB≌△CEB．

解：AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，∠B＝∠B

∴△ADB≌△CEB（AAS）．

答案：AB＝BC．

【变式训练2-1】（2021秋•绵阳期末）下列结论正确的是（　　）

A．两个等边三角形全等 

B．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 

C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 

D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

解：D选项中两个直角三角形，有直角相等，一组锐角对应相等和一组斜边对应相等，两组角一组边，符合AAS或者ASA，所以D正确．

故选：D．

【变式训练2-2】（2021秋•晋州市期末）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．两条直角边对应相等 

B．斜边和一锐角对应相等 

C．斜边和一直角边对应相等 

D．两个锐角对应相等

解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；

D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；

故选：D．

【变式训练2-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理　HL　．

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠BDF＝90°，

在Rt△ACD和Rt△BFD中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．

故答案为：HL．

【变式训练2-4】（2022春•兴平市期中）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．

解：如图，

在Rt△ADC与Rt△CBA中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），

∴DC＝BA．

又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

在Rt△ABE与Rt△CDF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．

【变式训练2-5】（2020秋•嵩县期中）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB＝CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌△Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．

条件是EC＝BF，

证明：∵AB＝CD，

∴AB+BC＝CD+BC，

∴AC＝BD，

∵EA⊥AB，FD⊥AD，

∴∠A＝∠D＝90°，

在Rt△AEC和△Rt△DFB中

∴Rt△AEC≌△Rt△DFB（HL）．

知识点3：全等三角形的判定与性质

【典例分析03】（2021秋•晋安区校级期末）如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS

解：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，

故选：A．

【变式训练3-1】（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（　　）

A．155° B．125° C．135° D．145°

解：在△ACD和△AEB中，

，

∴△ACD≌△AEB（AAS），

∴∠ABE＝∠ADC，

∵∠CDE＝55°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，

∴∠ABE＝∠ADC＝125°，

故选：B．

【变式训练3-2】（2021秋•北海期末）如图，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为 　75°　．

解：∵∠1＝∠2，

∴∠CEA＝∠DEB，

在△AEC与△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA），

∴DE＝EC，

∴∠EDC＝∠C，

∵∠1＝∠2＝30°，

∴∠C＝75°，

故答案为：75°．

【变式训练3-3】（2021秋•任丘市期末）如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝7，AD＝3，则DC＝　4　．

解：在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AC＝AB，

∵AB＝7，AD＝3，

∴CD＝AC﹣AD＝AB﹣AD＝7﹣3＝4，

故答案为：4．

【变式训练3-4】．（2021秋•阳江期末）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝　14cm　．

解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，

∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，

在△ADF和△BDF中，

，

∴△ADF≌△BDF（SAS），

∴AF＝BF，

∴AC＝AF+CF＝BF+CF，

∵BF＝11cm，CF＝3cm，

∴AC＝14cm，

故答案为：14cm．

【变式训练3-5】（2022春•历下区期末）如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．

证明：∵∠BAE＝∠DAC，

∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，

即∠BAC＝∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（AAS），

∴AC＝AE．

【变式训练3-6】（2021秋•单县期末）如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE＝BF，∠A＝∠B，∠CEB＝∠DFA，求证：OC＝OD．

证明：∵AE＝BF，

∴AE+EF＝BF+EF，

即AF＝BE，

在△AFD和△BEC中，

，

∴△AFD≌△BEC（ASA），

∴BC＝AD，

∵∠A＝∠B，

∴OA＝OB，

∴AD﹣OA＝BC﹣OB，

∴OC＝OD．

知识点4：全等三角形的应用

【典例分析04】（2021秋•朝天区期末）小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（　　）

A．① B．② C．③ D．都可以

解：由图可知，带③能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃．

故选：C．

【变式训练4-1】（2021秋•东坡区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS

解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，

所以，依据是ASA．

故选：A．

【变式训练4-2】（2021秋•吉林期末）如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝55m，则A、B两点之间的距离为 　55　m．

解：∵AC＝DB，AO＝DO，

∴AC﹣AO＝BD﹣DO，即BO＝CO，

在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB＝CD＝55m．

故答案为：55．

【变式训练4-3】（2021秋•余干县月考）如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长度就是A，B的距离，这是根据全等三角形判定 　SAS　证明 　△ACB　全等 　△DCE　，从而得出DE的长就是A，B的距离．

证明：在△DEC和△ABC中，

，

∴△DEC≌△ABC（SAS），

∴DE＝AB．

故答案为：SAS，△ACB，△DCE．

【变式训练4-4】（2020秋•北海期末）某中学八年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘两端的距离．某同学设计了如下测量方案：先取一个可直接到达池塘的两端的点A，B的点E，连接AE，BE，分别延长AE至点D，BE至点C，使得ED＝AE，EC＝BE．再测出CD的长度即可知道AB之间的距离．他的方案可行吗？请说明理由．

解：在△AEB和△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC（SAS）；

∴AB＝CD．

【变式训练4-5】（2020春•双流区期末）公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？

解：∵∠DHC＝90°，

∴∠AHD+∠CHB＝90°，

∵DA⊥AB，

∴∠D+∠AHD＝90°，

∴∠D＝∠CHB，

在△ADH和△BHC中，，

∴△ADH≌△BHC（AAS），

∴AD＝BH＝15千米，AH＝BC，

∵A，B两站相距25千米，

∴AB＝25千米，

∴AH＝AB﹣BH＝25﹣15＝10千米，

∴学校C到公路的距离是10千米．

答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米