【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第12讲 向量在物理中的应用举例 讲义

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第 课

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课程标准
课标解读
1.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．


1.通过进一步学习，在实践中能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.

2.认真体会向量在解决数学和抽象出实际问题中的数学问题作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.


知识精讲


知识点 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．

【即学即练1】　当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案　D
解析　作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
能力拓展


考法 向量在物理中的应用

【典例1】一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
解析　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2，又AB＝，∴用时0.5 h，易知sin∠EAD＝， ∴∠EAD＝30°.

答　该船实际航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.
反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．

【变式训练】一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________．
答案　－40
解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．
又∵＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.



分层提分


题组A 基础过关练
1．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，
所以的大小为，
故选：B
2．某人先向东走，位移记为，接着再向北走，位移记为，则表示（    ）
A．向东南走 B．向东北走
C．向东南走 D．向东北走
【答案】D
【详解】由题意知：，位移方向为东北方向，表示向东北走.
故选：D.
3．一物体在力F→的作用下，由点移动到点.已知，则F→对该物体所做的功为（    ）
A． B．15 C．28 D．
【答案】B
【详解】由题意得：，设F→对该物体所做的功为：
故选：B
4．一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（    ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
【答案】A
【详解】由题意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，
则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为.
故选：A.

5．一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
【答案】6
【详解】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以的大小为：6
故答案为：6
6．已知力，且和三个力的合力为，则__________．
【答案】
【详解】解：设，则，即，解得，
所以.
故答案为：.
7．如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.

【答案】1
【详解】，，三个力处于平衡状态，即
则
故答案为：1
8．高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为___________.

【答案】
【详解】设N，N，
则，
可得.
故答案为：
9．如图，一个力作用于小车，使小车发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为___________牛·米.

【答案】1000
【详解】解：小车位移方向力的大小为牛，
所以力做的功为牛·米.
故答案为：1000.
10．如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角，当小车向前运动时，力做的功为__________.

【答案】50
【详解】解：.
故答案为：.
11．力作用于质点P，使P产生的位移为,则力对质点P做的功是________.
【答案】
【详解】解:由题易得，，
故答案为：．

12．一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟___________米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要________分钟.
【答案】     24；     20.
【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.

（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.

故答案为：24；20.


题组B 能力提升练
1．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（    ）．
A．7 B． C． D．1
【答案】D
【详解】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得
故选：D.
2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（    ）

A． B．61 C．75 D．60
【答案】D
【详解】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：D．

3．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：

，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，
故选：C.
5．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，
所以.
故选：D.
6．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ）

A．-210 B．210 C．-270 D．270
【答案】D
【详解】由题意得=(5，10)，故力对冰球所做的功为·=5×6+24×10=270．
故选：D.

7．（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ）

A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
【答案】AC
【详解】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为，
则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，
故 不断增大.因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小；
故选：AC.
8．（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（    ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
【答案】ACD
【详解】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；

B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；

C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；
D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即，故D正确.
故选：ACD

9．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【答案】
【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：

因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．
故答案为：

10．在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为______，与水流方向所成的角为______．
【答案】     20    
【详解】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由题意知，，所以，且．所以船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为．
故答案为：①20②．

11．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于对岸B（AB与河岸的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船的速度（自身动力产生的速度）的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，航行的合速度方向与正西方向的夹角为_________，小货船的速度大小为_________km/h．
【答案】     30°    
【详解】
如图，，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角，与正西方向的夹角为30°，
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，

∴小船航行速度的大小为.
故答案为：①30°；②

12．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?
【答案】
【详解】解：如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，
则由题意可得，．
直角三角形中，由，，可得，
所以船的合速度的大小为，
故船行驶的方向与水流的方向成（即．
所以经过小时，该船的实际航程是千米．

13．平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：
(1)的大小；
(2)与夹角的大小．
【答案】(1)
(2).

解析 ：三个力平衡，，

，
（2）
解：与的夹角可由余弦定理求得，
，
与的夹角为
则与的夹角为．



题组C 培优拔尖练
1．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ）

A．为的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故，同理，
延长交与点，则
，
同理可得，所以，故C正确；

，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确．
故选：BCD．


2．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为___________

【答案】.
【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意得
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
由，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
在中，，所以为等边三角形，
所以，所以，
设，由题意令，即，
解得，所以，
所以，
设，可得其对称轴为，且开口向上，
所以时，取得最小值，即的最小值为.
故答案为：.


3．已知，，今有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为，设P，Q在s时分别在，处，当时所需的时间t为多少秒?
【答案】2 秒.
【详解】，，
，，其单位向量为；
，，其单位向量为，
依题意知，，，
∴，，
由，，得，，
∴，，
∵，∴，即，解得：.
即当时所需的时间为2 秒.
4．长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.

（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
【答案】（1）左侧，理由见解析  （2）；
【详解】（1）左侧，理由如下：

，

由，得


.
.
由，得.
∵游船航行到达北岸的位置在点的左侧（如图（1））
  
（2）如图（2），要使游船航行到达北岸的处，必须.
，
.
需要航行的时间.

5．如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.

【答案】
【详解】
如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角
分别为，则由三角函数定义得，

，
由于系统处于平衡状态，∴
∴ ，
【方法一】移项，（1）、（2）平方相加得：，
即 ，
而存在正数使得系统平衡，∴△＝，
∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，
不扣分．这时均为0）
由（*）解得，由（2）式知
∴，这是关于的增函数，
∴正数的取值范围为 .
【方法二】（1）、（2）平方相加得：，
由（1）知，，而
∴ 随单调递增，∴
（这里的锐角满足，此时）
且（写成不扣分，这时均为0）
∴从而，
∴，即，
∴,    ∴正数的取值范围为.
6．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．

（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），△DEF的重心O（x0，y0），
由题意，在同一时刻t，D、E、F分所成的比相同，设为λ，则，
由定比分点坐标公式可得，D（txB+（1﹣t）xA，tyB+（1﹣t）yA），E（txC+（1﹣t）xB，tyC+（1﹣t）yB），F（txA+（1﹣t）xC，tyA+（1﹣t）yC），
由三角形重心坐标公式有，，，
把D、E、F的坐标代入x0，y0中，求得△DEF的重心坐标为，它与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）∵，
∴S△DFA：SABC＝（AD•AF）：（AB•AC）＝t（1﹣t），即S△DFA＝t（1﹣t）S，
同理，S△EFC＝S△DEB＝t（1﹣t）S，
∴，
∴当时，S△DEF的面积取得最小值．
7．某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【答案】实际风速的大小是，为西北风.
【详解】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.

∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.