【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第10讲 平面向量数量积的坐标表示 讲义

第10讲  平面向量数量积的坐标表示

知识点01  平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

则a·b＝x1x2＋y1y2.

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝     或|a|＝.

若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.

(2)a⊥b⇔          .

(3)cos θ＝＝.

【即学即练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)

A．10  B．－10  C．3  D．－3

考法01  数量积的坐标运算

【典例1】　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________.

反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系

(1)|a|2＝a·a.

(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.

(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　)

A．6  B．5  C．4  D．3

考法02  平面向量的模

【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)

A.  B.  C．5  D．25

反思感悟

求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．

(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．

【变式训练】已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．

考法03  平面向量的夹角、垂直问题

【典例3】已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)

A．2   B.

C．0   D．－

反思感悟

解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.

(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.

【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b夹角的余弦值；

(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

题组A  基础过关练

1．已知向量，如果向量与垂直，则（    ）

A． B． C．2 D．

2．已知向量，，若，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，若，则实数m的值是（    ）

A．3或 B．或1 C．3或1 D．或

4．若向量，且与垂直，则实数_______．

5．已知，则在方向上的数量投影为_______．

6．将函数的图像和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若点P坐标为，则__________．

7．已知向量，若，则__________.

8．已知向量，，若，则______．

9．已知平面向量，则与的夹角为______.

10．已知，，则______．

11．已知平面向量，，.

(1)若，求x的值；

(2)若（为负实数），求x，的值.

12．已知平面向量．

(1)若，求满足的和的值；

(2)若，求m的值．

题组B  能力提升练

1．已知向量，，若，则（    ）

A．0 B． C．2 D．8

2．已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

3．（多选）下列说法中正确的有（    ）

A．已知在上的投影向量为且，则；

B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；

C．若非零向量满足，则与的夹角是.

D．在中，若，则为锐角；

4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（    ）

A．在方向上的投影向量为

B．若，则

C．

D．的最小值是

5．在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________.

6．已知向量，，且，则实数的值为__________.

7．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且，则的最大值为______

8．已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.

9．已知向量，.

(1)若，求x的值；

(2)若，求.

10．平面内向量（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．

(1)若，求的坐标．

(2)已知BC中点为D，当取最小值时，若AD与CP相交于点M，求与的夹角的余弦值．

题组C  培优拔尖练

1．已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

2．（多选）有下列说法，其中正确的说法为（    ）

A．为实数，若，则与共线

B．若，则在上的投影向量为

C．两个非零向量，若，则与垂直

D．若分别表示的面积，则

3．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点F在弧上，且，点E在弧上运动.则下列结论正确的有（    ）

A． B．，则

C．在方向上的投影向量为 D．的最小值是-3

4．已知向量，，若，则的值为___________.

5．已知向量满足，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.

①若，则的最小值为；

②若，则存在唯一的，使得；

③若，则的最小值为；

④若，则的最小值为.

6．已知向量，求：

(1)；

(2)若，求.

7．已知，，（，）.

(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；

(2)若当时，求的单调递增区间；

(3)若当时，的最小值为7，求的值.