高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式学案，共1页。学案主要包含了基本不等式的定义，利用基本不等式求最值，利用基本不等式证明不等式等内容，欢迎下载使用。
课时学习素养目标：1.理解基本不等式ab≤a+b2 （a>0 ,b>0 ,当且仅当a=b 时,等号成立）.2.能利用基本不等式求最值，培养数学运算的核心素养.3.能利用基本不等式解决实际问题，培养数学建模的核心素养.
导 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能得出什么样的结论？
思：新知一 基本不等式的定义
∀a ，b∈ ，有a2+b2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立.
特别地，如果a>0 ，b>0 ，我们用a ，b 分别代替上式中的a ，b ，可得 ，当且仅当 时，等号成立.
通常称ab≤a+b2 为基本不等式。其中，a+b2 叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
自主思考1. 基本不等式怎样证明？
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式ab≤a+b2的几何解释吗？
提示： (1)a+b2表示哪个线段？ (2)ab对应哪个线段呢？（3）半径与CD的大小关系如何？
议：探究点一 对基本不等式的理解
（1）已知 a，b>0 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. a+b2≤ab B. (a−b)2>1 C. a+b≥2ab D. a+b≥2ab
（2）不等式a2+1≥2a 中等号成立的条件是( )
A. a=1 B. a=−1 C. a=0 D. a=±1
探究点二 利用基本不等式求最值
已知x>0 ，求x+1x 的最小值
已知x ,y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 等于定值P ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2P.
（2）如果和x+y 等于定值S ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 14S2
新知二 两个重要结论
已知x，y 都是正数，
（1）如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 .
（2）如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值 .
和定积最大，积定和最小
自主思考2. 当a>0 时，你能求出a+4a 的最小值吗？
解题感悟 基本不等式求最值的三个条件：
1.一正：符合基本不等式a+b2≥ab 成立的前提条件为a>0 ,b>0 .
2.二定：不等式的一边转换为定值.
3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
迁移应用1. （1） 若x>0，求y=3x+12x的最小值；
（2）已知−1≤x≤1，求1−x2的最大值
（3）已知正实数a，b满足a+b=ab，则ab的最小值为（ ）
A.1 B. 2 C. 2 D.4
探究点三 利用基本不等式证明不等式
已知a ,b ,c 都是正数，求证：a+b+c≥ab+bc+ca ；
解题感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.
迁移应用2. 已知x,y,z都是正数，求证：(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz .
【检】
1. 已知a>0 ,b>0 ,且ab=2 ,那么a+b 的最小值是( )
A.4 B. 2 C. 22 D. 1
2. 不等式(x−2y)+1x−2y≥2成立的前提条件为
3. 若a>0 ，b>0 ，则1a+1b 4a+b （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）.
4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S 可由公式S=pp−ap−bp−c 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=8 ，b+c=10 ，则此三角形面积的最大值为 .
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2.2 基本不等式 (第2课时）
课时学习素养目标：1.能够对式子进行变形，构造定值2.熟练掌握基本不等式及变形的应用.（数据分析）；3.能运用基本不等式求代数式的最值（数学运算）
【导】一、两个重要结论
已知x、y都是正数，
1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．
2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．
二、运用基本不等式求最值的三个条件：
1.“一正”：x，y必须是 ；
2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。
如果题目中基本不等式不能满足“一正”、“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。
思：探究一 利用基本不等式求最值
基本不等式的变形：
（1）ab≤a+b22 ,a ,b 都是正数,当且仅当a=b 时，等号成立.
（2）a+b≥2ab ,a ,b 都是正数，当且仅当a=b 时，等号成立.
（1）已知x>0 ，求x+1x 的最小值
若x0 ，1a+1b=1 ，则a+b 的最小值为( )
A. 14 B. 12 C. 2 D. 4
迁移应用5. 已知a，b均为正实数，且2a+3b=4，则3a+2b的最小值为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
解题感悟：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by为定值，求eq \f(c,x)＋eq \f(d,y)的最值”或“已知eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)为定值，求cx＋dy的最值” (其中a，b，c，d均为常参数)时可用常值代换处理。应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
【检】
1. 已知x>0 ，y>0 ，且2x+y=2 ，则xy 的最大值是( )
A. 14 B. 12 C.4 D.8
2. 已知00，且2x+8y=xy，求x+y的最小值。
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2.3 基本不等式 (第3课时）
课时学习素养目标：1.能运用基本不等式求最值（数学运算）
2.能够对式子进行变形，构造定值；会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.（数学建模）
导：一、重要不等式：∀a ，b∈ R，有a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式：特别地，如果a>0 ，b>0 ，我们用a ，b 分别代替上式中的a ，b ，可得ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式的变形：如果a>0 ，b>0，a+b≥2ab，ab≤(a+b2)2，当且仅当a=b 时，等号成立.
三、运用基本不等式求最值的三个条件：
1.“一正”：x，y必须是正数；
2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值.
3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。
思：基本不等式在实际问题中的应用
例1 （1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m^3，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解题感悟 应用基本不等式解决实际问题的思路
（1）先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量（函数）;
（2）建立相应的关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题，利用基本不等式求解;
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值
（4）根据实际背景写出答案.
迁移应用1. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造作价为5800元。如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价价最低?最低总造价是多少?
检：
1. [2021吉林长春高一检测]如图所示的是一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2 （图中阴影部分）,上、下空白部分各宽2dm ,左、右空白部分各宽1dm ,则四周空白部分的面积最小为 dm2 .
2. 要制作一个容积为4m3 ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.