高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀教案设计

三角函数的图象和性质

一、  教学内容及其解析

 （一）教学内容

正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）．

知识结构图

（二）内容解析

1.内容本质：根据研究函数的经验，得到函数的定义之后，接着要研究函数的图象与性质。

正弦、余弦函数图像是正弦函数定义的几何意义和诱导公式的应用。正切函数的性质和图像是对前面已学函数以及三角函数知识的深化应用，是数形结合思想方法的具体体现，拓展了对函数性质的研究思路。对于图象与性质的研究，一般有两种思路：一是根据定义画出函数的图象，利用图象直观研究函数的性质；二是从定义为出发，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助图象进一步获得函数的其他性质．其中正弦函数采用了第一种研究思路，正切函数采用了第二种研究思路，对于余弦函数，则是根据正弦函数与余弦函数的关系，由正弦函数的图象通过平移就得到了余弦函数的图象，然后再研究其性质．了解这些思路可以更有效地研究函数的图象与性质，全面深入地理解数形结合的思想．

三角函数不以“代数运算”为媒介，是几何量（角与有向线段）之间的直接对应，并且通过研究可以发现：在正弦函数的图象上，除了原点之外，很少再能找到横、纵坐标均为有理数的点，因此，要想精确作出正弦函数的图象，就必须回归正弦函数定义．利用单位圆作正弦函数图象时，关键是理解如何作出图象上任意一点．明确作图的原理，理解函数图象整体的构成原理．掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，是从感性认识的累积飞跃到理性认识不可缺少的步骤．

对于正切函数的图象，仍然延用正弦曲线的作图方法，但由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接利用正切值来作图，不过可以通过三角形相似，将这种坐标比值转化为一条线段，这样又可以类比正弦曲线得到正切曲线了，因此，这里运用了转化思想．

学生对函数性质的研究已有比较丰富的经验，借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法．在三角函数的性质中，周期性是最特别和重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，因此，将周期性的研究应该放在首位．奇偶性也可起到简化研究函数性质的作用，同时周期性和奇偶性的综合可以加深对正弦曲线和余弦曲线的对称性的认识，因此可以首先研究这两个性质．单调性是函数的重要性质，利用三角函数的周期性，可以先从一个周期入手研究它的单调性．函数的最值是利用单调性推出的一个自然结果．当然，上述所有性质也可以借助单位圆进行直观想象而得到，这种多角度的联系有助于对知识的理解和掌握．

2.蕴含的思想方法：  数形结合、转化与化归、从特殊到一般的数学思想。函数的图象与性质的研究中体现了数形结合思想，例如单调性是通过图象得来的，而奇偶性，周期性是通过诱导公式得来的，在绘制三角函数的图象时借助了函数的奇偶性，周期性；研究三角函数的图象时通常是先研究其在一个周期内的图象与性质，再拓展到整个定义域，体现特殊到一般的思想；余弦函数的图象通过诱导公式将其转化为由正弦函数图象平移得到，体现转化与化归的思想。

3. 知识的上下位关系：函数是三角函数的上位知识，三角函数的研究基本遵从函数图像与性质的研究思路，类比指数函数、对数函数展开研究，同时为后续学习奠定基础。

4. 育人价值：探究三角函数图象与性质的过程，既需要函数周期性和奇偶性的代数推理，也需要对图形的直观想象，其中蕴含了数形结合的思想，有利于学生逻辑推理素养和直观想象素养的发展，可以帮助学生学会用数学的眼光来观察、数学的思维来思考，是提升学生的直观想象、逻辑推理等核心素养很好的载体。

5. 教学重点：

正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值或值域）；研究函数图象与性质的一般思路和方法．

二、 目标及其解析

（一）单元目标

1.借助单位圆能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值；

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上、正切函数在 上的性质．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）可以根据正弦的定义，借助于单位圆，在直角坐标系中作出图象上任意一点，并且能利用这一点的作图原理画出整个图象；能利用正弦函数与余弦函数解析式的关系，得出其图象之间的关系，通过平移正弦曲线得到余弦曲线；能通过几何作图与代数运算两个角度得出三角函数的周期性与奇偶性；能根据图象得到正、余弦函数的最值；会画一些简单三角函数的图象并会求其简单的性质。

对于正切函数，能转换研究思路，先从代数的角度研究其周期性、奇偶性，缩小画图的范围。然后类比正弦函数图象上任意一点的画法，画出正切函数的图象，并继续研究其他性质。

（2）观察正弦、余弦、正切曲线的图象，可以说出它们在相应一个周期上的单调性、最大最小值、对称性、零点等性质，并能利用这些性质解决相关的问题。

三、教学问题诊断分析  

问题1对于正弦函数，如何根据其定义准确地绘制出函数图象上任意一个点？

破解办法：给定任意一个横坐标x0，如何找到对应的纵坐标sinx0？结合图1，弧AB＝x0·1＝x0．找到了横坐标与弧长的关系，接下来就是如何操作了．可以利用学生之前在测量中的经验，即找一根没有弹性的细线，先将其端点与坐标原点重合，并将细线与x轴贴合，量出到x0的长度，标记上终点．然后再将细线的起点与点A重合，通过逆时针绕让细线与单位圆贴合，其终点的位置就是点B．点B的纵坐标就是函数图象上点T（x0，sinx0）的纵坐标，再将之平移至x0处，就得到了点T（x0，sinx0）．

问题2周期性这个概念学生之前从来都没有碰到过，在这一单元，不仅要求学生结合三角函数了解周期性，还要抽象出定义并利用新定义解决新函数的问题。

破解的方法：利用数形结合的思想方法突破．在一开始学习任意角时研究了角的关系，得到同角三角函数关系，后来又利用定义得到诱导公式一，已经直观地感受到了周期性，目前的困难是怎样将之符号化．为此类比函数单调性、奇偶性的研究进行引导．先将直观想象微观化，即“周而复始”这是宏观的规律，具体到函数图像上就是横坐标每增加2π，函数值重复出现．再将之符号化即可．在应用它求函数y=Asin（ωx+φ）周期时，要利用换元的方法将复杂问题转化为基本问题求解，但对于它的周期的具体意义的理解需要到下一单元学习了函数y=Asin（ωx+φ）之后才能达成。

教学难点：

正弦函数的作图；周期函数、（最小正）周期的意义。

四、 教学支持条件

为突破三角函数作图的难点，教师借助信息技术工具做出动态的课件，帮助学生理解。

五、    课时分配

本单元共4课时，具体分配如下

第1课时    正弦函数、余弦函数的图象

第2课时    正弦函数、余弦函数的性质

第3课时    正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用

第4课时    正切函数的性质与图象．

六、 课时教学设计