【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.3 正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用（课时教学设计）

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5.4.3 正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
（一）教学内容
正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用。
（二）教学目标
会用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决一些简单的问题。
（三）教学重点难点
教学重点：正弦函数、余弦函数的图像与性质的应用。
教学难点：探索求函数周期、单调区间的思路及所对结论的理解。
（四）教学过程
【环节一】知识点复习回顾
导入：前面我们学习了正弦函数、余弦函数的图象和性质，这节课我们一起探讨它们的一些简单应用，请同学们思考下面问题。
问题1：回顾正弦函数、余弦函数的性质和图象，完成下面表格：

正弦函数
余弦函数
定义域


值域


图象


周期


奇偶性


对称轴


对称中心


单调递增区间


单调递减区间


最大值点


最小值点



师生活动：学生完成后，互相批改，修改完善。

正弦函数y＝sinx
余弦函数y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期
最小正周期
单调区间
k∈Z
增区间
减区间
增区间
减区间
最值点
k∈Z
最大值点
最小值点
最大值点
最小值点

对称中心
k∈Z


对称轴
k∈Z



追问：（1）如何理解点也正弦函数的对称中心？
（2）如何理解直线是正弦函数的对称轴？你能类比函数奇偶性的研究作出回答吗？
师生活动：学生基于上节课课后作业，放在函数奇偶性的研究作答。代数论证作为选做内容。
（1）直观感知：函数图象在点的特征与在点处的特征一样，呈现出关于点中心对称。
代数论证：对于，，，得证。
（2）直观感知：函数图象相对于直线的特征与相对于y轴的特征一样，呈现出关于直线的轴对称。
代数论证：对于，，，得证。
设计意图：复习公共正弦函数、余弦函数的图象和性质，为本机课的应用奠定基础。
【环节二】例题分析与巩固
例2 求下列函数的周期：
（1），；
（2），；
（3），.
追问1：请说出周期性定义，并思考要想获得周期，得到怎样的关系式就可得出周期？对例2中函数表达式进行怎样变形？
师生活动：由学生说出周期性定义：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于每一个，都有，且
，
那么函数就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。周期函数的周期不止一个。我们更关系最小正周期。
要得到周期，需要得到形式才能确定周期。
我们目前知道正弦函数、余弦函数的周期均为，要想求出例2中函数的周期，需要从此出发，对比研究获得的形式。
对于（1）显然有，即的形式成立；
对于（2）要想利用，需先换元，可设，
这样，
也获得了的形式；
对于（3），根据（1）（2）的处理经验，，
，
也获得了的形式；
解法如下：（1），有，由周期函数的定义可知，原函数的周期为；
（2）令，由，得，且的周期为，即，
于是，所以，.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
（3）令，由得，且的周期为，即，
于是，所以.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
追问2：对于上面3个问题，（3）的形式实际是（1）（2）形式的组合，据此你能抽象出这类函数的一般形式吗？
师生活动：共同归纳其形式为：或。
追问3：你能根据上面3个问题的解答，归纳出求解形如或的周期的步骤和一般方法吗？
师生活动：学生梳理之后，交流展示。教师点拨、完善。
周期问题求解的步骤如下：
第1步：先用换元法转换。（可参考问题（2）进行说明）；
第2步：利用已知的正弦函数余弦函数的周期找关系；
第3步：根据定义变形变形为的形式；
第4步，确定结论。
周期与自变量的系数有关。根据（1）（2）（3）的函数形式和答案，可归纳为：。
理由如下：
形如或的函数（其中，，为常数，且，），设，由，得，根据正弦函数余弦函数周期为，有
，
可知与的周期都为，进一步推理如下：
因为，则有
，
得到，即当自变量增加，函数值就重复出现；且增加量小于时，函数值不会重复出现。即是使等式成立的最小正数，从而，的周期为。同理，的周期为。
根据这个结论，我们可以直接写出，和，的周期为。
推广：如果函数的周期为T，则函数（）的周期为。
设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解的周期的求解步骤，提升学生的数学运算素养。
例3 下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x的集合，并求出最大值､最小值.
（1），；
（2），；
追问1：能转化为熟悉的形式求解吗？
师生活动：先让学生思考，尝试解决，教师再点评指正。
因为，，因此对于（1），，这样借助正弦函数的有界性，确定了函数的值域，同时也可得到最值；对于（2），为了能借助正弦函数的有界性，可设，，因，则，求的最值问题转化为求最值问题，由，利用不等式性质，有，这样通过换元就可解决最值问题。
解法参考：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值。
（1）使函数，取得最大值的x的集合，就是使函数，取得最大值的x的集合；
使函数，取得最小值的x的集合，就是使函数，取得最小值的x的集合，
函数，的最大值是；最小值是.
（2）令，因，则，使函数取得最大值的z的集合，就是使，取得最小值的之的集合，
由，得，所以，使函数，取得最大值的x的集合是；
同理，使函数，取得最小值的x的集合是，
函数，的最大值是3，最小值是-3.
追问2：你能归纳出形如，和，的函数求最值的一般思路和方法吗？
师生活动：引导学生归纳得出先通过变量代换，转化为形如，和，，再利用正余弦函数的有界性，求最值或值域问题。
设计意图：理解正余弦函数的有界性，利用转化的思想求解形如，和，的最值。
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2）与.
师生活动：学生先独立思考，解决问题，完成后教师点评。
如果学生有困难，可以这样引导思考：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小。为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解法参考：（1）因为，
正弦函数在区间上单调递增，所以.
（2），，
因为，且函数在区间上单调递减，所以，
即
追问：你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试，并把你的想法和同学交流。
师生活动：学生独立画图，教师利用几何画板展示图象，由学生解答。
设计意图：尝试利用正弦函数、余弦函数的单调性解决比大小问题，通过类比之前的利用函数单调性比大小方法，完成本例题解答，并积累三角函数值比大小经验。
例5 求函数，单调递增区间。
追问：你能转化为利用正弦函数的单调性求解吗？可以类比前面的哪个例题获得思路？
师生活动：学生可以想到利用例，例3的想法进行转化。
令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
解法参考：令，，则，
因为，的单调递增区间是，且由，
得，所以，函数，的单调递增区间是.
变式：求函数，的递增区间．
追问：变式与例5有什么不同？这种不同对求函数单调区间有什么影响？你能想到什么方法破解？
师生活动：学生会有困难，仿照例5进行解答，教师对有困难学生指导，其他同学自己完成。学生可能会有不同思路，让不同思路学生展示。最后教师归纳，引导学生注意可能出错的地方。
解法参考：令，，则，因为，的单调递减区间是或，且由或，
得或，所以，函数，的单调递增区间是，.
设计意图：类比例2，例3求解，进一步熟练换元转化思想方法。
问题2：通过学习正弦函数、余弦函数的图象与性质，你获得了哪些解题思想方法和解题经验？解题过程中有哪些需要注意的问题？
师生活动：解题过程中用到的主要思想方法有定义法、换元法、类比转化、数形结合等。求解周期和单调区间时，主要系数的作用，特别是求单调区间是，自变量系数为负时的情况。
（五）目标检测设计
1课前预习
1.1求下列函数的周期：
（1）； （2）；
参考解法：（1）令，而，即．
． ∴T=2π．
（2）令，则，
，∴T=4π
1.2 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值与最小值。
（1），； （2），
参考解法：（1）当即时,函数取得最大值2;当时,函数取得最小值-2；
（2）当即即时,函数取得最大值3；
当，即即当时，函数取得最小值1.
设计意图：检验预习效果，了解本节课的内容。
2 课堂检测
不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与； （2）与.
参考解法：（1）,∵,且在内为减函数,
∴,即.
（2）∵，且在内为减函数，
∴.
设计意图：考察本节课知识的掌握情况。
3 课后作业
教科书习题5.4中2,4,5,10,11（作业本）；练习册对应内容。
设计意图：巩固正余弦函数的理解，提高学生分析问题，解决问题的能力，发展四基四能。
（六）教学反思