河南省洛阳市偃师区实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．分式​有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x＞2
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
2．如果把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
【分析】根据已知条件将x，y都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论．
【解答】解：把分式中的x、y都扩大3倍，即：
＝＝3•，
∴分式的值扩大3倍．
故选A．
3．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），则关于x的方程﹣kx+b＝0的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝2
【分析】根据题意得出b＝3k，代入方程﹣kx+b＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴﹣3k+b＝0，
∴b＝3k，
∵﹣kx+b＝0，
∴x＝＝＝3．
故选：A．
4．如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据函数图象即可直接得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当x＞2时，y＜0，
所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故选：A．
5．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】连接BD，根据平行四边形的性质求出△COB的面积，根据BF＝2CF求出△FOC的面积，同理得到△EOA的面积，得到答案．
【解答】解：连接BD，
∵点O是AC的中点，
∴点O在BD上，且点O是BD的中点，
∴△COB的面积＝四边形ABCD的面积＝3，
∵BF＝2CF，
∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝1，
由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝1，
∴图中阴影部分的面积＝1+1＝2，
故选：D．

6．一组数据﹣3，a，2，3，5有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（　　）
A．﹣2 B．1 C．3 D．5
【分析】先根据数据：﹣3，a，2，3，5有唯一的众数3，求得a的值，再计算中位数的大小．
【解答】解：∵数据：﹣3，a，2，3，5有唯一的众数3，
∴a＝3，
∴这组数据按大小排序后为：﹣3，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为3．
故选：C．
7．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）

A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣a D．270°﹣a
【分析】由余角的性质可得∠3＝∠2，即可求解．
【解答】解：∵∠3+∠4＝90°＝∠4+∠2，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝α，∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝∠2＝180°﹣α，
故选：C．

8．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数为18，方差为2，则对于样本x1+3，x2+3，x3+3，…xn+3，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为21，方差为2 B．平均数为21，方差为4
C．平均数为18，方差为2 D．平均数为18，方差为4
【分析】根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n，所得到的新一组数据的平均数就增加n，而方差不变．
【解答】解：样本x1+3，x2+3，x3+3，…xn+3，对于样本x1，x2，x3，…xn来说，
每个数据均在原来的基础上增加了3，根据平均数、方差的变化规律得：平均数较前增加3，而方差不变，
即平均数为18+3＝21，方差为2．
故选：A．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，按以下步骤作图：（1）以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC于M、N两点；（2）分别以M、N两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；（3）作射线EP交BD于点F，连接CF．
则有：
①FB＝FC；
②EF＝DF；
③∠ADB＝∠BCF；
④∠ABD＝∠CFD．
在上面四个结论中，正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由作图可知直线EF是线段BC的垂直平分线，故①正确；由四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，所以∠ADB＝∠FBC＝∠BCF，故③正确；当四边形ABCD为矩形时，可得∠FCD＝∠FDC，FD＝FC＝FB，在Rt△FEB中，EF＜BF，所以EF＜DF，故②错误；当四边形ABCD为菱形时，可得AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，所以∠CFD＞∠CBD，∠CFD＞∠ABD，故④错误．
【解答】解：由作图可知直线EF是线段BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，故①正确；
∴∠FBC＝∠FCB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBC＝∠BCF，故③正确；
如图1，当四边形ABCD为矩形时，

∵∠FBC+∠BDC＝90°，∠FCB+∠FCD＝∠BCD＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC＝FB，
∵在Rt△FEB中，EF＜BF，
∴EF＜DF，故②错误；
如图2，当四边形ABCD为菱形时，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，
∵∠CFD是△BCF的一个外角，
∴∠CFD＞∠CBD，
∴∠CFD＞∠ABD，故④错误；
∴正确的个数为2个，
故选C．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，点P是AB上的一个动点，PQ⊥AB交四边形另一边于点Q．设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数关系图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分0≤x＜1，1≤x＜3，3≤x≤4三种情况讨论即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则DE∥CF，

∵AB∥CD，
∴DE＝CF，EF＝CD＝2，
又AD＝BC，
∴Rt△ADE＝Rt△BCF（HL），
∵AE＝BF＝（AB﹣ER）＝1，
∴DE＝＝＝CF，
①当0≤x＜1时，
∵PQ⊥AB，DE⊥AB，
∴PQ∥DE，
∴△APQ～△AEQ，
∴＝，即＝，
∴PQ＝x，
∴y＝x•x＝x2；
②当1≤x＜3，此时PQ＝DE＝，

∴y＝x•＝x；
③当3≤x≤4时，

同理可证△BPQ∽△BFC，
∴，即，
∴PQ＝﹣x+4，
∴y＝x•（﹣+4）＝﹣x2+2x，
综上y＝．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为　5　．
【分析】先根据算术平均数的定义列方程求出x的值，再依据众数的定义得出答案．
【解答】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6，
∴4+5+x+7+9＝5×6，
解得x＝5，
所以这组数据为4，5，5，7，9，
则这组数据的众数为5，
故答案为：5．
12．若xy＝2，x﹣y＝1，则＝　　．
【分析】先通分，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵xy＝2，x﹣y＝1，
∴﹣＝＝．
故答案为：．
13．已知反比例函数y＝，当2≤x＜5时，y的取值范围是　2＜y≤5　．
【分析】求出x＝2和x＝5对应的y的值，再根据x的范围求出答案即可．
【解答】解：把x＝2代入y＝得：y＝5，
把x＝5代入y＝得：y＝2，
所以当2≤x＜5时，y的取值范围是2＜y≤5，
故答案为：2＜y≤5．
14．在四边形ABCD中，AB∥CD，给出下列4组条件：
①AB＝CD，
②AD＝BC，
③AD∥BC，
④∠ABC＝∠ADC．
其中，不能得到“四边形ABCD是平行四边形”的条件是　②　．（只填序号）
【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可．
【解答】解：①AB＝CD，则一组对边平行且相等，可得到四边形ABCD是平行四边形，
故不符合题意；
②AD＝BC，无法得到四边形ABCD是平行四边形，
故符合题意；
③AD∥BC，两组对边分别平行，可得到四边形ABCD是平行四边形，
故不符合题意；
④∠ABC＝∠ADC，则此两角都是∠BAC的补角，而∠BAC与∠ABC为同旁内角互补，可推出AD∥BC，两组对边分别平行，可得到四边形ABCD是平行四边形，
故不符合题意；
故答案为：②
15．如图，矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为CD边的中点，P为AB边上的一动点（含端点），F为CP的中点，则EF长度的最大值为　　．
​

【分析】连接DP，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接DP，

∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF＝DP，
当PD取得最大值时，EF的值最大，
故当点P与点B重合时，PD最大，
∴PD＝BD＝＝17，
∴EF长度的最大值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．化简：（1﹣），并选择一个合适的x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，取x＝2代入，得到答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝1，
由题意得：x不为0和1，
当x＝2时，原式＝1．
17．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生
八年级
九年级
平均数
85.2
85.2
中位数
86
a
众数
b
91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　87.5　，b＝　88　，m＝　40　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？

【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数a＝＝87.5；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%，故m＝40，
故答案为：87.5；88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）600×+800×40%＝180+320＝500（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人．
18．如图，双曲线y＝与直线y＝mx+n交于A（6，6），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式≥mx+n的解集；
（3）请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法），交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出点Q的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分别以点O、N为圆心，以大于NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON的中垂线为x＝﹣15，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝6×6＝36，
则反比例函数表达式为：y＝，
将点B的坐标代入上式得：﹣1＝，则a＝﹣36，
即点B的坐标为：（﹣36，﹣1），
将A、B的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线AB的表达式为：y＝x+5；

（2）从函数图象看，不等式≥mx+n的解集为：0＜x≤6或x≤﹣36；

（3）分别以点O、N为圆心，以大于NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，

令y＝x+5＝0，则x＝﹣30，即点N（﹣30，0），
则ON的中垂线为x＝﹣15，
当x＝﹣15时，y＝＝﹣，
即点Q的坐标为：（﹣15，﹣）．
19．已知：如图，E、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：
（1）BE＝DF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．

【分析】（1）证△BAE≌△DCF（SAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得BE＝DF，∠1AEB＝∠CFD，再证BE∥DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAE+∠BAC＝180°，∠DCF+∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知，△BAE≌△DCF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．为加快成渝双城经济圈建设，每天都会有大量的车辆往返于两城市之间，现有甲、乙两车早上从重庆西站出发匀速前往成都东站，在整个行程中，两车离开重庆的距离s与时间t的对应关系如图所示：
（1）重庆西站与成都东站之间距离是　300　千米；
（2）甲车每小时行驶　60　千米，乙车每小时行驶　100　千米；
（3）乙车出发多长时间追上甲车？
（4）从乙车出发后到甲车到达成都东站这一时间段内，在何时两车相距40千米？

【分析】（1）根据图象即可得出结论；
（2）根据图象求甲、车两车速度；
（3）由题意列方程解决问题；
（4）分两车相遇前和相遇后以及乙到达成都东站三种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）由图象可知，重庆西站与成都东站之间距离是300千米，
故答案为：300；
（2）由图象可知，甲车的速度＝＝60（千米/小时），
乙车的速度＝＝100（千米/小时），
故答案为：60，100；
（3）设乙车出发x小时追上甲车，
由题意：60（x+1）＝100x，
解得：x＝1.5，
∴乙车出发1.5小时追上甲车；
（4）设乙车出发后到甲车到达成都东站这一段时间内，甲车与乙车相距40千米时甲车行驶了m小时，
①当甲车在乙车前时，
得：60m﹣100（m﹣1）＝40，
解得：m＝1.5，
此时是上午6：30；
②当甲车在乙车后面时，
100（m﹣1）﹣60m＝40，
解得：m＝3.5，
此时是上午8：30；
③当乙车到达到达成都东站后，
300﹣60m＝40，
解得：m＝，
此时是上午9：20．
∴分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40千米．
21．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出∠OAB的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长AB到D，使AD＝AO，连接DC并延长交y轴于点E．求证：DE⊥OA．

【分析】（1）由反比函数k值的意义即可求解；
（2）如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，分别以点M、N为圆心大于MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；
（3）证明AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，即可求解．
【解答】（1）解：由反比函数k值的意义知，|k|＝2S△AOB＝6，
则k＝﹣6；

（2）解：如图，以点A为圆心，作弧交AB、AO于点M、N，

分别以点M、N为圆心大于MN为半径作弧，交于点F，则AF为∠OAB的平分线；

（3）证明：∵AF为∠OAB的平分线，AD＝AO，
∴AC⊥OD，
∵OB⊥AD，
即AC、OB是△ADO的高，点C是两个高的交点，
故DE也是△ADO的高，
即DE⊥OA．


22．翻开史书，中华文化灿烂的历史展现在眼前，尤其是红色革命文化的精神，值得人们传承和弘扬，一部部红色典籍更是每个时代都需要的精神食粮．某学校计划开设阅读课让同学们学习革命文化，便购买了《红岩》和《林海雪原》供学生阅读，首次购买书籍的单价及花费如表：

《红岩》
《林海雪原》
单价（元/本）
x
x﹣3
购买花费（元）
675
540
已知首次购买到的两种书籍数量相等．
（1）求学校购买的两种书籍的单价各为多少元？
（2）首次购书之后，学校发现学生对革命文化有了更深入的了解，现打算再次购买500本，这一次学校共花费6600元，那么这次购买《林海雪原》多少本？
【分析】（1）根据表中数据列出分式方程，解方程并检验结果即可；
（2）设购买《林海雪原》m本，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题知，学校购买《红岩》的单价为x元/本，
购买《林海雪原》的单价为（x﹣3）元/本，x＞3，
根据题意，得：，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
15﹣3＝12（元/本）．
答：学校购买《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本；
（2）设购买《林海雪原》m本，0≤m≤500，则购买《红岩》（500﹣m）本，
根据题意，得：12m+15（500﹣m）＝6600，
解得m＝300．
答：这次购买《林海雪原》300本．





23．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
（1）证明四边形BPCO为平行四边形；
（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．

【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形BPCO为平行四边形；
（2）由菱形的判定定理可得结论．
【解答】（1）证明：∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）解：添加AC＝BD，使得四边形BPCO为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵AC＝BD，
∴BO＝CO，
∴平行四边形BPCO是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．