2022-2023学年河南省洛阳市八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市八年级下学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1
2
下列二次根式是最简二次根式的是()
​
​
D.
0.2
10
12
满足下列条件的三角形是直角三角形的是()
6
三个内角之比是3：4：5B.三边长分别为2，3，
111
3
C.三边长分别,,D.三边长分别为1，2，
345
如图，在四边形????中，??与??交于?点，则下列条件中，不能判定四边形????是平行四边形的是()
?? = ??，?? = ??
?? = ??，?? = ??
??//??，?? = ??
??//??，?? = ??
下列各点中，在函数? = −? + 1的图象上的是()
A.(0,1)B.(0,−1)C.(1,2)D.(−1,0)
为了了解同学们每周看手机的时间，现调查了8位同学上周玩手机的时间(单位：小时)分别为：3，2，4，5，7，6，5，8，则下列关于这组数据说法错误的是()
A.平均数是5B.中位数是5C.众数是5D.方差是0
《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(1丈= 10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，则折断处离地面的高度为()
A.4.1尺B.4.2尺C.4.5尺D.4.8尺
某校规定学生的学期体育成绩满分为100分，平时成绩、期中成绩、期末成绩按2：3：5的比计算学期成绩.小彤的体育平时成绩、期中成绩、期末成绩(百分制)依次是90分、90分、 84分，则小彤的学期体育成绩是(单位：分)()
A.87B.88C.90D.84
如图，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象经过点?(?,−4)和点?(
−4,0)，正比例函数?=2?的图象过点?，则不等式2?≤??+?的解集为()
? ≥ −2
? ≤ −2
? ≥ −4
? ≤ −4
，
如图，在▱????中，以点?为圆心，适当长为半径作弧
交??、??于点?、?，分别以点?、?为圆心，大于1??的长
2
为半径作弧，两弧交于点?，连接??交??于点?，连接??，若
??= 2.5，?? =1.5，?? = 2，则??的长为()
5
A.4B.2
C.
D.3.5
，
5
已知一次函数? = 3? + 3与坐标轴交于点?和点?，如图以??为边作正方形????，点?到?轴的距离是()
A.1
B.3
C.4
D.6
二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）
二次根式? −1中?的取值范围是．
如图，在??△???中，∠???=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则??的长为．
生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙、丙、丁四个品种的大豆中各选20株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：???? ⋅ ?−2 ⋅ ?−1)，结果统计如下：
根据这些数据，应选择的优良大豆品种是．
已知点?(?1,?1)、?(?2,?2)在一次函数? = ??−2的图象上，且?2 = ?1 + 2，?2 = ?1−1，则? =．
如图，菱形????中，对角线?? = 6，?? = 8，?是边??上一点，?是??的中点，在线段??上有一点?使?? + ??的距离最短，则最短距离是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
计算：
品种
甲
乙
丙
丁
平均数
25
25
24
24
方差
29.6
4
4
20.8
18
2
÷+ (3−1)2；
(2)333+1−(2−3)(
2
+3).
88
(本小题9.0分)
如图，小明在某泳池沿泳道?练习游泳，点?处有一个攀梯.游了一段时间后，在?处的小明想上岸休息，他决定游至点?后再向攀梯游去.已知?、?、?三点都在直线?上，?? = 9米，?? = 12米，?? = 15米．
??的长是否为攀梯?到泳道?的最近距离，请通过计算加以说明；
小明游至?处后又沿泳道?滑行2米到达点?，若从点?游至攀梯?，求??的长度.(保留根号)
(本小题9.0分)
跳绳是我国民间的一项体育项目，它可以促进少年儿童的健康发育，也可以培养身体的平衡感，因此具有较大的锻炼价值.一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一.某校为了了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为?(跳绳个数)，对数据进行整理，将所得的数据分为5组：(?组：0 ≤ ? < 180；?组：180 ≤ ? < 190；?组：190 ≤ ? < 200；?组：200 ≤ ? < 210；?组：210 ≤ ? < 220)，学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
被抽取的学生的跳绳个数在?组的数据是：191，195，97，197，197，197．八年级被抽取的学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求八年级被抽取的学生的跳绳个数在180 ≤ ?<190的人数，并补全频数分布直方图；
(2)? =；
若该校八年级有学生600名，估计全年级学生跳绳个数不少于200个的人数．
(本小题9.0分)
在平面直角坐标系???中，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象经过点?(−4,0)，点?(0,−4)． (1)求?，?的值，并在坐标系中画出? = ?? + ?的图象；
(2)当?<−1时，对于?的每一个值，函数? = ??(? ≠ 0)的值小于一次函数? = ?? + ?的值，请直接写出?的取值范围．
(本小题9.0分)
某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动.11：00他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回.同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接 上了小宇，立即保持原来的车速原路返回.设小宇离家?(小时)后，到达离家?(千米)的地方， 图中折线?????表示?与?之间的函数关系．
活动中心与小宇家相距千米，小宇在活动中心活动时间为小时；
年级
八年级
平均数
196
中位数
?
众数
189
求线段??所表示的?(千米)与?(小时)之间的函数关系式(不必写出?所表示的范围)； (3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇能否在12：00前回到家，并说明理由．
(本小题9.0分)
如图，已知 △ ???是等边三角形，边??上的高??，??上的高??交于点?，连接??并延长交??
于点?，点?是??的中点．
连接??，求证：??//??；
连接??，四边形????是什么特殊的四边形？并说明理由．
(本小题10.0分)
2023年，第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳⋅ 青春登场”为主题.在此期间，小王批发牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，批发10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，批发20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元．
求牡丹花伞和花环头饰的批发价各是多少元？
牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定批发两种商品共200个，但批发商要求批发牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获 得最大利润，最大利润是多少？
(本小题10.0分)
综合与实践课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片???
?，其中?? = 3，?? = 3 + 23． (1)动手实践
如图1，将矩形纸片????折叠，点?落在??边上的?处，折痕为??，连接??，然后将纸片展平，得到四边形????和四边形????，则四边形????的形状为，四边形????的形状为；
探索发现
如图2，将图1中的四边形????剪下，取??边上一点?，使∠??? = 30°，将△ ???沿??折叠得到△ ??′?，延长??′交??于点?．
求证：?? = ?′?．
反思提升
如图3，将图2中的△ ???剪下，折叠∠?使点?落在直线??上的点?′，折痕分别交??和??
于点?、?.若??′?是直角三角形，请直接写出??的长．
答案和解析
【答案】?
1
2
【解析】解：?．
= 12，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
2
0.2
B.
=
= 15，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
1
5
5
C. 10是最简二次根式，故本选项符合题意；
12
D.= 23，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：?．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因数是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
【答案】?
【解析】解：?、当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180° × 5= 75°，
3+4+5
故选项不符合题意；
B、当三边长之比为 2： 3： 6时，(2)2 + (3)2 = (5)2，故该三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；
C、当三边长之比为1：1：1时，(1)2 + (1)2 = ( 41)2，故该三角形不是直角三角形，故选项不符
合题意；
3454520
D、当三边长之比为1：2： 3时，(1)2 + ( 3)2 = (2)2，故该三角形是直角三角形，故选项符合题意；
故选：?．
根据三角形内角和定理判断?；根据勾股定理的逆定理判断?、?、?即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【答案】?
【解析】解：?、 ∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 A 不符合题意；
B、 ∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 B 不符合题意；
C、??//??，?? = ??，不能判定四边形????是平行四边形，故选项 C符合题意； D、 ∵ ??//??，?? = ??，
∴ 四边形????是平行四边形，故选项 D不符合题意；故选：?．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：当? = 0时，? = 1，所以点(0,1)在函数? = −? + 1图象上，点(0,−1)不在函数图象上；当? = 1时，? = 0，所以点(1,−2)不在函数? = −? + 1图象上；
当? = −1时，? = 2，所以点(−1,0)不在函数? = −? + 1图象上；故选：?．
分别把各点代入函数的解析式进行检验即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ 这组样本数据中，5出现了2次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是5；
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数分别是5，5，
∴ 这组数据的中位数为(5 + 5) ÷ 2 = 5，
这组数据的平均数为：(3 + 2 + 4 + 5 + 7 + 6 + 5 + 8) ÷ 8 = 5；
这组数据的方差为：1× [(3−5)2 + (2−5)2 + (4−5)2 + 2 × (5−5)2 + (7−5)2 + (6−5)2 + (8−5)2]
8
= 3.5，
故选项 A、?、?说法正确，选项 D 说法错误．
故选：?．
根据众数、中位数、平均数以及方差的定义求解即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
【答案】?
【解析】解：设折断处离地面?尺，根据题意可得?2 + 42 = (10−?)2，解得? = 4.2．
故选：?．
根据题意结合勾股定理列出方程，求解即可得出折断处离地面的长度．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
【答案】?
【解析】解：小彤的学期体育成绩是：90 × 2 + 90 × 3 + 84 × 5= 87(分)，
2+3+5
故选：?．
根据加权平均数的公式列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ 正比例函数? = 2?的图象过点?(?,−4)，
∴ −4 = 2?，解得? = −2，
∴ 一次函数? = ?? + ?与一次函数? = 2?的图象的交点为?(−2,−4)，由图象可知，2? ≤ ?? + ?的解集为? ≤ −2．
故选：?．
由正比例函数的解析式求得?点的坐标，根据图象即可得出不等式2? ≤ ?? + ?的解集．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，找到不等式与一次函数图象的关系是解题关键．
【答案】?
【解析】解：由作法得??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ??//??，?? = ??，?? = ?? = 2.5，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 2.5，
∴ ?? = ?? = ?? + ?? = 2.5+ 1.5= 4，
在△ ???中， ∵ ?? = 1.5，?? = 2，?? = 2.5，
∴??2+??2=??2，
∴ △ ???为直角三角形，∠??? = 90°，
∵ ??//??，
??2+??2
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，在?? △ ???中，?? =
=
= 25．
22+42
故选：?．
由作法得??平分∠???，则∠??? = ∠???，再根据平行四边形的性质得到??//??，?? = ??，??
= ?? = 2.5，接着证明∠??? = ∠???得到?? = ?? = 2.5，则?? = ?? = ?? + ?? = 4，然后利用勾股定理的逆定理证明△ ???为直角三角形，∠??? = 90°，则∠??? = 90°，于是利用勾股定理可计算出??的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
【答案】?
【解析】解：过点?作?? ⊥ ?轴于点?，
∴∠??? = 90°，
∵ ?轴⊥ ?轴，
∴∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ 四边形????是正方形，
∴∠??? = 90°，?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
令? = 0，则? = 3，
∴ 一次函数? = 3? + 3与?轴的交点?的坐标是(0,3)，
∴ ?? = 3，
∴ ?? = ?? = 3，
令? = 0，则3? + 3 = 0，解得? = −1，
∴ 一次函数? = 3? + 3与?轴的交点?的坐标是(−1,0)，
∴ ?? = 1，
∴ ?? = ?? + ?? = 1 + 3 = 4，即点?到?轴的距离是4，
故选：?．
先根据正方形的性质证得△ ???和△ ???全等，得出?? = ??，再求出一次函数? = 3? + 3与坐标轴的交点坐标，即可得出点?到?轴的距离．
本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标和正方形的性质，得出?? = ??是解题的关键．
【答案】? ≥ 1
【解析】解：由题意得，?−1 ≥ 0，解得? ≥ 1．
故答案为：? ≥ 1．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【答案】2
【解析】解：由题意可知??2 = 5，??2 = 9，又∵ △ ???是直角三角形，∠??? = 90°，
∴ 根据勾股定理得：??2 = ??2−??2 = 9−5 = 4，
∵ ??为正数，
∴ ?? = 2，
故答案为：2．
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理的性质，能够熟练运用勾股定理是解题的关键．
【答案】乙
【解析】解：因为甲和乙光合作用速率的平均数较高，所以从甲和乙中选取，又乙的方差比甲小，所以乙的光合作用速率比较稳定，
所以应选择的优良大豆品种是乙．故答案为：乙．
先比较平均数得到甲和乙光合作用速率较高，然后比较方差得到乙比较稳定．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
【答案】−1
2
【解析】解： ∵ 点?(?1,?1)、?(?2,?2)在一次函数? = ??−2的图象上，
∴?1=??1−2①，?2=??2−2②，
②−①得，?2−?1 = ??2−??1 = ?(?2−?1)，
∵?2=?1+2，?2=?1−1，
∴?2−?1=−1，?2−?1=2，
∴ 2? = −1，即? = −1．
2
故答案为：−1．
2
分别将?，?两点代入一次函数的解析式，②−①式，再结合所给条件即可化简．
本题主要考查一次函数上点的坐标特征，将点?，?的坐标代入一次函数解析式，得出关于?的方程是解题关键．
【答案】12
5
【解析】解：作点?关于直线??的对称点?′，连接??′，过?′作?′?′ ⊥ ??交??于点?′，
∵ 四边形????是菱形，
∴ 点?′在??上，且为??的中点，
∵ ?? + ?? = ?? + ??′ ≥ ?′?′，
∴ ?? + ??最小值为?′?′的长，
∵ 菱形????中，对角线?? = 6，?? = 8，
∴ ?? = 4，?? = 3，
??2+??2
∴ ?? =
= 5，
∵ ?菱形????= 1?? ⋅ ?′?′ = 1?? ⋅ ??，
22
∴?′?′=??⋅??=4×3=12，
??55
故答案为：12．
5
作点?关于直线??的对称点?′，点?′在??上，过?′作?′?′ ⊥ ??，则?? + ??最短距离为的长?′?
′，再利用面积法求出?′?′即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，面积法，利用一条线段的长办事处两线段和的最小值是解题的关键．
18
【答案】解：(1)
÷
+ (3−1)2
2
3
= 3 + 3−2+ 1
= 7−23；
2
(2)333+1−(2−3)(
+3)
88
=3+2−(2−3)
24
=3+2−2+3
24
=5+2．
24
【解析】(1)先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
先计算二次根式、立方根和平方差公式，再去括号，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
【答案】解：(1)??的长是攀梯?到泳道?的最近距离，理由如下：在△ ???中，
∵??2+??2=92+122=225=??2，
∴ ∠??? = 90°，即?? ⊥ ?，
∴ ??的长为攀梯?到泳道?的最近距离；
(2) ∵ ?? ⊥ ?，
∴∠??? = 90°，
??2+??2
∴ ?? =
=
= 237(米)．
122+22
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理得出∠??? = 90°即可得出结论； (2)根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理得逆定理是解题的关键．
【答案】197
【解析】解：(1) ∵ 八年级抽取的总人数为3 ÷ 15% = 20(人)，
∴ ?组的人数为20 × 30% = 6(人)，补全频数分布直方图：
(2)中位数是第10和11个数据的和的平均数，? = 197 + 197= 197；
2
故答案为：197；
(3)600 × 2 + 3= 150(人)，
20
答：估计全年级学生跳绳个数不少于200个的人数为150人．
根据?组的人数和百分比即可求出八年级的总人数，用总人数乘以?组的百分比求出跳绳个数在180 ≤ ? < 190的人数，即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义求即可；
用600乘以八年级学生跳绳个数不少于200个的所占百分比可得．
本题考查的是频数(率)分布直方图和扇形统计图的综合运用，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，熟知各项目数值之和等于总数、百分比之和等于1及样本估计总体的思想是解题的关键．
{
?= −4
【答案】解：(1)由题意得： −4? + ? = 0，
解得：{，
?= −1
?= −4
∴ ? = −1，? = −4；
(2)如图：由图象得：当? ≥ 3时，函数? = ??(? ≠ 0)的值小于一次函数? = ?? + ?的值．
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据函数的图象，结合数形结合思想求解．
页
本题考查了待定系数法求一个函数的解析式，掌握待定系数法及数形结合思想是解题的关键．
【答案】222
【解析】解：(1) ∵ 点?的坐标为(1,22)，点?的坐标为(3,22)，
∴ 活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3−1 = 2小时．故答案为：22；2；
(2)根据题意得：? = 22−5(?−3) = −5? + 37．
(3)从活动中心步行返家用时：(22−20) ÷ 5 = 0.4(小时)，小宇从活动中心返家所用时间为：0.4 + 0.4 = 0.8(小时)，
∵ 0.8<1，
∴ 小宇12：00前能到家．
(1)根据点?、?坐标结合时间= 路程÷ 速度，即可得出结论；
(2)根据离家距离= 22−速度× 时间，即可得出?与?之间的函数关系式；
(3)由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系列式计算；(2)根据离家距离 = 22−速度× 时间，找出?与?之间的函数关系式；(3)由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．
【答案】(1)证明： ∵ △ ???是等边三角形，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
由等腰三角形的三线合一得?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∵ ?是??的中点，
∴ ??是△ ???的中位线，??是△ ???的中位线，
∴??//??，??=1??，??//??，??=1??，
22
∴ ??//??．
(2)解：四边形????是菱形，理由如下：由(1)知??//??，??//??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∵ ?? ⊥ ??，?? = ??，
∴ ??垂直平分??，
∴ ?? = ??，
∵??=1??，??=1??，
22
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????是菱形．
【解析】(1)根据等腰三角形的三线合一及三角形的中位线定理可求得；
(2)由等腰三角形的三线合一及线段的垂直平分线定理得?? = ??，再根据三角形的中位线定理求得?? = ??，再根据菱形判定法则可知四边形????是菱形．
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，解题的关键是掌握等边三角形的性质，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定．
20?+ 5?= 325
?= 5
【答案】解：(1)设牡丹花伞和花环头饰的批发价各是?元和?元．根据题意得{10? + 10? = 200，解得{? = 15．
∴ 牡丹花伞和花环头饰的批发价各是15元和5元．
(2)设牡丹花伞进货?个，那么花环头饰进货则为(200−?)个．
由题意得? ≤ 1(200−?)，解得? ≤ 200．
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∵ ?为整数，
∴ ? ≤ 66．
获得的利润为? = (25−15)? + (10−5)(200−?) = 5? + 1000．
∵ ?随?的增大而增大，
∴ 当? = 66时，?最大，最大值为? = 5 × 66 + 1000 = 1330．
∴ 牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个，才能获得最大利润，最大利润是1330元．
【解析】(1)设牡丹花伞和花环头饰的批发价各是?元和?元，根据题意列方程组并求解即可；
(2)设牡丹花伞进货?个，那么花环头饰进货则为(200−?)个．根据题意列一元一次不等式，求出
?的取值范围．列出利润关于?的表达式，根据利润随?的变化特点，求出?为何值时利润最大及利润的最大值．
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用．这种类型的题目过程有点复杂，但难度不大，要求细心、认真．
【答案】正方形 矩形
【解析】(1)解： ∵ 四边形????是矩形，
∴ ??//??，∠? = ∠??? = 90°，
由折叠可知，∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∴∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∵ ?? = ??，
∴ 四边形????是正方形；
∴ ∠??? = ∠? = ∠? = 90°，
∴ 四边形????为矩形；
(2)证明：连接??，
∵ 四边形????是矩形，
∴∠? = ∠? = 90°，
由折叠知，?? = ?′?，∠? = ∠??′? = 90°，
∴∠??′? = 180°−∠??′? = 90°，
∴ ∠??′? = ∠?，
∵∠??? = 30°，∠? =90°，?? = ?? = 3，
∴??=1??，??2+??2=??2，
2
得?? =3，
∴ ?′? = ?? =3，
∵ ?? = ??−??−?? =3，
∴ ?′? = ??，又?? = ??，
∴△??′?≌△???(??)，
∴ ?? = ?′?；
(3)当点?′在??上时，∠??′? = 90°时，设?? = ?，
∵∠??? = 30°，
∴∠? = 30°，
∴ ?? = 2?，?? =3?，由(2)可知，?? = 23，
∴ ?? = 2，?? = 4，
∴ ?? = 4−2?，??′ = 2?，?′? = 23−23?，
∴(4−2?)2=(2?)2+(23−23?)2+22，
解得? = 0(舍去)，? = 2，
3
∴??=23，
3
当点?′在??延长线上时，
当∠???′ = 90°时，
∴??2+??′2=??′2，
∴(4−2?)2+22+(23?−23)2=(2?)2，
解得：? = 4或? = 2(舍去)，
3
∴??=43，
3
综上所述，?? = 23或43．
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(1)先判定四边形????是矩形，再由?? = ??，得出四边形????是正方形，由三个角是直角的四边形是矩形，得出四边形????是矩形；
(2)连接??，证明△ ??′?≌ △ ???，即可证明结论；
(3)分点?′在??和??的延长线上两种情况讨论，利用勾股定理得出方程，求得结果即可．
本题考查了矩形、正方形的判定与性质，三角形全等的判定，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键．