高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算同步测试题

这是一份高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　5.2　5.2.1　

A组·素养自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是(　D　)
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
[解析]　当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.D不正确．故应选D．
2．若y＝cos，则y′＝(　C　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C．0　　 D．
[解析]　常数函数的导数为0.
3．下列命题正确的是(　C　)
A．(logax)′＝　　 B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3xln 3　　 D．(ln x)′＝－
[解析]　根据基本初等函数导数公式知，
(logax)′＝，(3x)′＝3xln 3，(ln x)′＝.所以A，B，D均不正确，C正确．
4．设函数f(x)＝－x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为(　D　)
A．y＝9x＋21　　 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19　　 D．y＝－9x＋21
[解析]　因为函数f(x)＝－x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D．
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　C　)
A．2　　 B．ln 2＋1
C．ln 2－1　　 D．ln 2
[解析]　∵y＝ln x的导数y′＝，令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
6．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　C　)
A．1　　 B．－
C．　　 D．
[解析]　∵y＝x3，y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，
∵0≤α<π，∴α＝.
二、填空题
7．函数f(x)＝，则f ′(x)＝__x－__，f ′＝____．
[解析]　因为f(x)＝＝x，
所以f ′(x)＝x.
f ′＝×
＝×＝.
8．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为__x＋y－＝0__．
[解析]　因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·，
即x＋y－＝0.
三、解答题
9．若直线y＝－x＋b为函数y＝的图象的切线，求b及切点坐标．
[解析]　设切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝′＝－，所以切线斜率为k＝－.
所以切线方程为y－＝－(x－x0)
即y＝－x＋ .
又切线方程为y＝－x＋b，
∴，解得或.
即当b＝2时，切点为(1，1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析]　(1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　D　)
A．　　 B．－　　
C．－e　　 D．e
[解析]　因为y′＝(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，y0)，所以k＝＝＝ex0，
得x0＝1，所以k＝e.
2．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为(　AC　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　∵y＝，
∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，
∴x＝±，
∴y＝±2.
即点P或，故选AC．
3．(多选题)下列各式正确的是(　BC　)
A．′＝cos　　 B．(cos x)′＝－sin x
C．()′＝　　 D．(logax)′＝
[解析]　对于A，′＝0，A错误，B显然正确；对于C，()′＝(x)′＝x－＝，C正确；对于D，(logax)′＝，D错误．故选BC．
4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　A　)
A．∪　　 B．[0，π)
C．　　 D．∪
[解析]　因为y′＝cos x，而cos x∈[－1，1]．所以直线l的斜率的范围是[－1，1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
二、填空题
5．若f(x)＝x3，其导数满足f ′(x0)＝3，则x0的值为__±1__．
[解析]　根据题意，若f(x)＝x3，其导数f ′(x)＝3x2，若f ′(x0)＝3，则3x＝3，解得x0＝±1.
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 020(x)等于__sinx__．
[解析]　因为f0(x)＝sin x，
所以f1(x)＝f ′0(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f ′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f ′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝f ′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x.
三、解答题
7．求下列函数的导(函)数．
(1)y＝x－5；
(2)y＝4x；
(3)y＝；
(4)y＝sin；
(5)y＝cos(2π－x)．
[解析]　(1)y′＝(x－5)′＝－5x－6.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)因为y＝x·x·x＝x，所以y′＝x－.
(4)因为y＝sin＝cos x，所以y′＝－sin x.
(5)因为y＝cos(2π－x)＝cos x，所以y′＝－sin x.
8．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析]　∵y＝x－，
∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－ (x－a)
令x＝0得y＝a－，
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×a－＝a＝18，
∴a＝64.