高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后作业题

5．2　导数的运算

5．2.1　基本初等函数的导数

知识点一  求导公式的直接运用

1.若y＝cos，则y′＝(　　)

A．－  B．－

C．0  D．

答案　C

解析　因为y＝cosπ＝－是常数函数，常数函数的导数为0，故选C.

2．下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3＝－；④′＝－ .其中正确的有(　　)

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

答案　C

解析　因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；因为sin＝，而′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以y′|x＝3＝－，所以③正确；因为′＝′＝－x－＝－，所以④正确．

3．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g(2)＝，则m＝________.

答案　－2

解析　∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，∵g(2)＝2m，g(2)＝，∴2m＝－4，∴m＝－2.

4．求下列函数的导数：

(1)y＝；(2)y＝logx；(3)y＝cos；(4)y＝22x.

解　(1)y′＝′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.

(2)y′＝＝－.

(3)y′＝′＝0.

(4)y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4.

知识点二  利用导数公式解决与切线有关的问题

5.过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　)

A.  B．或

C.  D．

答案　B

解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.

6．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y＝sinx  B．y＝ln x

C．y＝ex  D．y＝x2

答案　AD

解析　设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(0)·f′(π)＝－1，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝，则f′(x1)·f′(x2)＝>0，故函数y＝ln x不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x2的导函数为f′(x)＝2x，则f′·f′＝－1，故函数y＝x2具有T性质．故选AD.

7．已知曲线f(x)＝.

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．

解　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.

(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线的斜率为函数f(x)＝在点P(1,1)处的导数，即k＝f′(1)＝－1.

所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，

即为y＝－x＋2.

(2)显然Q(1,0)不在曲线f(x)＝上，

则可设过该点的切线的切点为A，

那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.

则切线方程为y－＝－(x－a)．①

将Q(1,0)代入切线方程，得0－＝－(1－a)．

解得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)

A．1条  B．2条

C．3条  D．不确定

答案　B

解析　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有2条．

2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于(　　)

A．2  B．－2

C．3  D．－3

答案　A

解析　若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2，适合条件，故选A.

3．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x(　　)

A．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快

B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢

C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快

D．以上都不对

答案　D

解析　函数的导数表示函数的增长速度，由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.若2x>2即x>1时，f(x)增长速度比g(x)增长速度快，若2x<2即x<1时，f(x)比g(x)增长速度慢，在x＝1时两者增长速度相同．故选D.

4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A．2  B．ln 2＋1

C．ln 2－1  D．ln 2

答案　C

解析　∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.

5．(多选)下列求导运算正确的是(　　)

A．(3x)′＝3xln x  B．()′＝

C．(x2)′＝2x2－1  D．(log2e)′＝0

答案　BCD

解析　(3x)′＝3xln 3，故A错误；()′＝(x)′＝x－＝，故B正确；(x2)′＝2x2－1，故C正确；因为log2e是常数，所以(log2e)′＝0，故D正确．故选BCD.

二、填空题

6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．

答案　　x－ey＝0

解析　∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝.

∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.

7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.

答案　1

解析　因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－，因为x>0，所以x＝1.

8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为_______．

答案　

解析　对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝.

三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.

解　(1)y′＝8x7.

(2)y′＝xln ＝－xln 2.

(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x.

(4)y′＝＝－.

10．讨论关于x的方程ln x＝kx解的个数．

解　如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x交点的个数．

设直线y＝kx与y＝ln x相切于点P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0.

因为(ln x)′＝，所以k＝，kx0＝1＝ln x0.

所以x0＝e，k＝.

结合图象，知

当k≤0或k＝时，方程ln x＝kx有一个解；

当0<k<时，方程ln x＝kx有两个解；

当k>时，方程ln x＝kx无解．