高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后测评

第五章　5.2　5.2.1

A级——基础过关练

1．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为(　　)

A．(－2，－8)

B．(－1，－1)或(1，1)

C．(2，8)

D．

【答案】B

2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)

A．0条 B．1条

C．2条 D．3条

【答案】C

3．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝(　　)

A． B．10

C．10ln10 D．

【答案】C　【解析】∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.故选C．

4．函数f(x)＝的导数是(　　)

A．x B．x

C．x D．x－

【答案】B　【解析】先将f(x)变形为y＝x2的形式，再求导，即f(x)＝＝＝＝x.

5．(2022年湘潭期末)已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝(　　)

A．－1 B．1

C．5 D．－5

【答案】C　【解析】∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C．

6．(2022年合肥期末)曲线y＝－在点处的切线方程是(　　)

A．y＝－4x B．y＝4x－4

C．y＝4x＋4 D．y＝－4x＋4

【答案】B　【解析】因为y′＝，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线y＝－在点处的切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.故选B．

7．(多选)下列求导正确的是(　　)

A．(x8)′＝8x7

B．(4x)′＝4xln4

C．′＝sinx

D．(e2)′＝2e

【答案】AB　【解析】C项中，sin＝cos x，∴(cos x)′＝－sin x；D项中，(e2)′＝0.

8．直线y＝x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.

【答案】ln2－1　【解析】由切线方程知切线斜率是，即y′＝＝，x＝2.因为切点在y＝ln x上，所以切点为(2，ln 2)．因为切点也在切线上，所以将(2，ln 2)代入切线方程得b＝ln 2－1.

9．函数y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝________，此处的切线方程为____________．

【答案】3　y＝12x－16　【解析】(xα)′＝αxα－1，根据题意，知α·2α－1＝12，解得α＝3.切点为(2，8)，切线方程为y＝12x－16.

10．求曲线y＝sinx在点处的切线方程．

解：y＝sin x的导函数为y′＝cos x.

当x＝时，y′＝cos ＝，

即y＝sin x在点处的切线斜率为，所以曲线y＝sin x在点处的切线方程为y－＝，即x－2y＋1－＝0.

B级——能力提升练

11．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为(　　)

A．3x－2y－1＝0

B．2x－3y＋1＝0

C．2x＋3y－5＝0

D．x＋y－2＝0

【答案】B　【解析】y＝＝x，则y′＝x－，y′＝，所以所求切线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.

12．(多选)(2022年南昌期末改编)已知函数f(x) 及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　)

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cosx

C．f(x)＝lnx D．f(x)＝

【答案】ABCD　【解析】对于A，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x，解得x＝0或x＝2，因此此函数有“巧值点”；对于B，f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x，令－sin x＝cos x，则sin x＋cos x＝0⇒sin＝0⇒x＋＝kπ⇒x＝kπ－，k∈Z，因此此函数有“巧值点”；对于C，f(x)＝ln x，f′(x)＝，由ln x＝，如图，分别画出y＝ln x，y＝(x＞0)的图象，由图象可知，两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；对于D，f(x)＝，f′(x)＝－，由＝－，解得x＝－1，因此此函数有“巧值点”．故选ABCD．

13．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．

【答案】1　【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．

14．已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为__________时，PQ最小，此时最小值为________．

【答案】(1，0)　　【解析】如图所示，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．令y′＝＝1，解得x＝1，

∴P(1，0)，∴|PQ|min＝＝.

15．已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为，求a的值．

解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，

∴f′(1)＝a.

又∵f(1)＝1，

∴切线l的方程为y－1＝a(x－1)，

∴l与两坐标轴的交点分别为，(0，1－a)，

∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝·|1－a|＝.

由S＝，得2－a－＝±，解得a＝2或.