人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　5.1　5.1.1　

A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为(　D　)
A．x0＋Δx　　　　　　　　　 B．1＋Δx
C．2＋Δx　　 D．2
[解析]　由题意，可得平均变化率
＝＝2，故选D．
2．(2022·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　A　)
A．2.1　　　　　　 B．1.1　　　　　　
C．2　　　　　　 D．0
[解析]　∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，
∴＝＝2.1.故选A．
3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的值为(　D　)
A．4　　 B．4x
C．4＋2(Δx)2　　 D．4＋2Δx
[解析]　＝＝4＋2Δx.
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为(　B　)

A．>>　　 B．>>
C．>>　　 D．>>
[解析]　＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由图象知kOA 5．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　A　)
A．at0　　　　　　 B．－at0　　 　　　
C．at0　　 　　　 D．2at0
[解析]　∵＝＝aΔt＋at0，
∴＝at0.
6．设f(x)＝2ax＋4，若f(x)在(1，f(1))处的瞬时变化率为2，则a等于(　C　)
A．2　　　　　　 B．－2　 　　　　
C．1　　　　　　 D．－1
[解析]　＝2a＝2a＝2.
∴a＝1.
二、填空题
7．由瞬时变化率的研究方法可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的瞬时变化率为__0__．
[解析]　
＝
＝Δx＝0.
8．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为__20＋5Δt__，落体在t＝2时的瞬时速度为__20__．
[解析]　由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20.
三、解答题
9．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

[解析]　山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．
10．(2022·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度．
[解析]　设这辆汽车在3 s到(3＋Δt) s这段时间内的位移的增量为Δs，则Δs＝3·(3＋Δt)2＋1－28＝3(　Δt)2＋18Δt，
所以＝3Δt＋18，所以 (3Δt＋18)＝18.
故这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s.
B组·素养提升
一、选择题
1．直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么对于的下列说法正确的是(　D　)
A．从时刻t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt时位移的平均变化率
C．当时刻为Δt时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
[解析]　根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，时间的变化量为Δt，而物体的位移为Δs，
那么为该物体在t时刻的瞬时速度；故选D．
2．(多选题)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若＝9.8 m/s，则对于数据9.8 m/s，下列说法错误的是(　ABD　)
A．是从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．是从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．是t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．是t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
[解析]　根据题意，＝9.8 m/s，则物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度为9.8 m/s，故选ABD．
3．设函数f(x)＝x2＋ax，且＝1，则a＝(　D　)
A．－　　 B．－　　
C．1　　 D．－1
[解析]　由＝＝1可知，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为1.
又
＝
＝ (Δx＋a＋2)＝a＋2，∴a＋2＝1，∴a＝－1.
4．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为(　C　)
A．(－2，1)　　 B．(0，－7)　　
C．(2，1)　　 D．(3，11)
[解析]　设P点坐标为(x0，2x－7)，
则
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
所以4x0＝8，解得x0＝2.
所以P的坐标为(2，1)．
二、填空题
5．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为__2__．
[解析]　根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m＋1，∴m＋1＝3则m＝2.
6．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f(x)在x＝－1处的切线斜率为3，则a＝__1__．
[解析]　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.
∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.∴k＝3a＝3，∴a＝1.
三、解答题
7．过曲线f(x)＝x3上两点P(1，1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
∴割线PQ的斜率k＝
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
8．若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析]　(1)∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处位移的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处位移的瞬时变化率为＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.