高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀导学案及答案

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习题课　等比数列的性质的综合问题
学习目标　1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法．
一、等比数列的实际应用
例1　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
反思感悟　等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
跟踪训练1　有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．
答案　8
解析　由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－为公比的等比数列，
即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－(升)，第三次取出的为2升，…，
第n次取出的纯酒精为n－1升，
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为
a9＋a10＝8＋9
＝8(升)．
二、等差数列与等比数列的转化
问题1　若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？
提示　设bn＝22n＋1，则bn－bn－1＝22n＋1－22n－1＝22n－1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故{bn}不是等差数列；而＝＝22n＋1－(2n－1)＝22＝4，是常数，故{bn}是等比数列．
问题2　若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？
提示　若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列．
知识梳理　
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{logaan}是等差数列．
注意点：(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列{}的公比为ad；(3)等差数列{logaan}的公差为logaq.
例2　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
解　依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3.
延伸探究　已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式．
解　设等比数列{an}的公比为q，
由已知得q4＝＝28.
∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，
∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.
又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)，
b1＝log2a1＝1，
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴bn＝2n－1.
反思感悟　在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义．
跟踪训练2　数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是(　　)
A．n－1 B．n＋1 C．2n－1 D．2n＋1
答案　A
解析　由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，
即log2＝－1得＝，
∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为，
∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，
∴a2＋a4＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝2n－1，
则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.
三、等比数列的综合应用
例3　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n)．
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
反思感悟　解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用．
(2)对于解答题注意基本量及方程思想．
(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．
(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．
跟踪训练3　若等比数列{an}满足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q；
(2)若an>n＋100，求n的取值范围．
解　(1)由题意，得
解得a1＝1，q＝2.
(2)由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，验证可得n≥8，n∈N*.

1．知识清单：
(1)等比数列的实际应用．
(2)等差数列与等比数列的相互转化．
(3)等比数列的综合应用．
2．方法归纳：公式法、构造法．
3．常见误区：在应用题中，容易忽视数列的项数．

1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成(　　)
A．64个 B．128个
C．256个 D．255个
答案　C
解析　某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个．
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
答案　C
解析　∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10 000.
3．若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn(　　)
A．是等比数列 B．是等差数列
C．每项取倒数成等差数列 D．每项取倒数成等比数列
答案　C
解析　因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即，，成等差数列．
4．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
答案　1
解析　{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，则＝＝1.
课时对点练

1．在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为(　　)
A. B．4 C．2 D.
答案　C
解析　因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
所以a＝a1a7，
设数列{an}的公差为d，则d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
所以公比q＝＝＝2.
3．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)
A．－24 B．－3 C．3 D．8
答案　A
解析　根据题意得a＝a2·a6，
即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.
4．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为(　　)
A. B．－ C. D．1
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a1＝1，a3，a7，a16成等比数列，
得a＝a3·a16，即(1＋6d)2＝(1＋2d)·(1＋15d)，整理得6d2－5d＝0，解得d＝或d＝0(舍去)，即数列{an}的公差d＝，故选C.
5．已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c(　　)
A．是等比数列，非等差数列
B．是等差数列，非等比数列
C．既非等比数列，又非等差数列
D．既是等差数列，又是等比数列
答案　A
解析　由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列．
6．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　)
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
答案　BD
解析　由已知得
解得或
故a＝2或a＝8.
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案　－6
解析　由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
8．画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________．
答案　2 048
解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048.

9．受疫情影响，某公司的销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？
解　设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.
设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元．
10．在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
(1)证明　因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an
＝log2＝log2q(q>0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解　因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1>1，
所以b1＝log2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋×(－1)
＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*)．

11．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
答案　D
解析　因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，
所以Sn＝na1＋n·(n－1)·(－1)，
由S1，S2，S4成等比数列可知S＝S1·S4，
代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
解得a1＝－.
12．已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项之和是(　　)
A．45 B．－35 C．55 D．－55
答案　D
解析　设等比数列{an}的公比为q，
由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，
又由a1q＝a1×＝，解得a1＝，所以an＝n，
则log2an＝log2n＝－n，
数列{log2an}的前10项之和为
S10＝＝－55.
13．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，则下列条件能使数列{an}成等比数列的是(　　)
A．f(an)＝2n B．f(an)＝n2
C．f(an)＝2n D．f(an)＝
答案　C
解析　由f(x)＝logax(a>0，a≠1)，
令y＝logax，可得x＝ay，
故对于A，有an＝，不是等比数列；
对于B，an＝，不是等比数列；
对于C，an＝a2n，为等比数列；
对于D，an＝，不是等比数列．

14．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
答案　1 024
解析　因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，
所以
解得a1＝16，q＝，
所以an＝16×n－1＝25－n，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.

15．已知a1，a2，a3，……，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为(　　)
A．4 B．6 C．7 D．无法确定
答案　A
解析　当n≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n＝4或n＝5.当n＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5＝a2a4⇒a1(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋3d)⇒d＝0，不满足题意．
故n＝4.验证过程如下：
当n＝4时，有a1，a2，a3，a4.
将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列．
如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意．
故可以知道删去的是a2或a3.
如果删去的是a2，则a1∶a3＝a3∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，
整理得到3a1d＝4a1d＋4d2，即4d2＋a1d＝0，故4d＋a1＝0，即＝－4.
如果删去的是a3，则a1∶a2＝a2∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，
整理得3a1d＝2a1d＋d2，即a1d＝d2，故a1＝d，即＝1.
可得＝－4或1.
故答案为A.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)方法一　由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，
得－＝，
∴数列是首项为＝1，公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
方法二　由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，
得n(Sn＋1－Sn)－Sn＝，
∴nan＋1－Sn＝，①
当n≥2时，(n－1)an－Sn－1＝，②
①－②，得nan＋1－(n－1)an－an＝－，
∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是从第2项起的等差数列，且首项为a2＝2，公差为1，
∴an＝2＋(n－2)×1＝n(n≥2)．
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
(2)由(1)知an＝n，Sn＝.
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则S＝ak·a4k，即2＝k·4k.
∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4.
得2k＋1＝2或2k＋1＝－2，
解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾．
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列．