高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优质第1课时学案设计

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
4．2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
导语
同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和．
一、等差数列前n项和公式的推导
问题1 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花， 花．
深浅， 芬葩．
凝为雪， 错为霞．
莺和蝶到， 苑占宫遮．
已迷金谷路， 频驻玉人车．
芳草欲陵芳树， 东家半落西家．
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯．
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？
问题3 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
知识梳理
等差数列的前n项和公式
注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数．
二、等差数列中与前n项和有关的基本运算
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
跟踪训练1 在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d.
三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题4 等差数列前n项和Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？
例2 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
延伸探究 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2) B．－eq \f(3,2)n2－eq \f(n,2)
C.eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2) D.eq \f(3,2)n2－eq \f(n,2)
2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于( )
A．18 B．27 C．36 D．45
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为( )
A．1 B.eq \f(5,3) C．2 D．3
4．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________.
课时对点练
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )
A．49 B．42 C．35 D．28
2．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于( )
A．10 B．15 C．20 D．30
3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于( )
A．18 B．20 C．22 D．24
4．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
5．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
6．(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．－1 B．3 C．5 D．7
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________.
8．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则eq \f(a1,d)＝________.
9．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求等差数列{an}的前n项和Sn.
11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
12．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A.eq \f(3n2,2) B.eq \f(nn＋1,2)
C.eq \f(3nn－1,2) D.eq \f(nn－1,2)
14．把形如M＝mn(m，n∈N*)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________．
15．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是( )
16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(Sn,n＋c)(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d