人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀第3课时学案设计

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第3课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
导语
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质．
一、由等差数列构造新等差数列
问题1 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
知识梳理
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
例1 有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
跟踪训练1 已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
二、等差数列中任意两项之间的关系
问题2 如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？
知识梳理
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)；
(3)d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
注意点：若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：eq \f(an－am,n－m)＝eq \f(an＋m－an,n＋m－n)，eq \f(m－n,n－m)＝eq \f(an＋m－m,n＋m－n)，eq \f(an＋m－m,m)＝－1，故an＋m＝0)．
例2 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
跟踪训练2 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
三、等差数列中多项之间的关系
问题3 若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？
知识梳理
1．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….
例3 已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
延伸探究 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
跟踪训练3 数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则lg6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(1,2)
1.知识清单：
(1)由等差数列构造新的等差数列．
(2)等差数列中任意两项之间的关系．
(3)等差数列中多项之间的关系．
2．方法归纳：公式法、构造法、解方程组法．
3．常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐．
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3 B．－6 C．4 D．－3
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有( )
A．a5＝4 B．a6＝4
C．a5＝2 D．a6＝2
4．在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________．
课时对点练
1．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A．7 B．5
C．3 D．1
2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A．5 B．8
C．10 D．14
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
4．在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13 B．3－eq \f(4,m－1)
C．3－eq \f(2,m－1) D．5－eq \f(2,m－1)
6．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
7．在等差数列{an}中，若aeq \\al(2,2)＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
9．在等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
10.在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a23的值．
11．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq \f(1,3)a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
12．等差数列an中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于( )
A．10 B．15 C．20 D．40
13．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
14．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________.
15．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有eq \f(an,bn)＝eq \f(2n＋3,4n－9)，则eq \f(a7,b3＋b9)＋eq \f(a5,b4＋b8)＝________.
16．已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)