人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优质学案
展开3.2.1 双曲线及其标准方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一.双曲线的定义
文字语言
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
符号语言
||PF1|-|PF2||=常数(常数<|F1F2|)
焦点
定点
焦距
的距离
思考:(1)双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?
(2)双曲线的定义中,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a(常数),且2a<|F1F2|,则点M的轨迹是什么?
二.双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
图形
a,b,c的关系
c2=
思考:如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)在双曲线标准方程-=1中,a>0,b>0且a≠b. ( )
(4)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( )
2.已知双曲线-=1,则双曲线的焦点坐标为( )
A.(-,0),(,0) B.(-5,0),(5,0)
C.(0,-5),(0,5) D.(0,-),(0,)
【经典例题】
题型一 求双曲线的标准方程
点拨:求双曲线标准方程的步骤
1.定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.
2.定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.
提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn<0.
例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)a=4,经过点A;
(2)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2);
(3)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
【跟踪训练】1 求满足下列条件的参数的值.
(1)已知双曲线方程为2x2-y2=k,焦距为6,求k的值;
(2)椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,求a的值.
题型二 双曲线中焦点三角形问题
点拨:求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
1.①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;
②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;
③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;
④利用公式=×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.
2.利用公式=×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.
3.若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则面积S=.这一结论适用于选择或填空题.
例2 若F1,F2是双曲线-=1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
【跟踪训练】2 已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于________.
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
点拨:双曲线轨迹问题的步骤
(1)列出等量关系,化简得到方程;
(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
例3 如图所示,在△ABC中,已知|AB|=4,且三个内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
【跟踪训练】3 如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【当堂达标】
1.(多选)双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.7 C.17 D.22
2.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线
3.已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于( )
A. B.5 C.7 D.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m
5.已知方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是________.
6.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
7.求以椭圆+=1的短轴的两个端点为焦点,且过点A(4,-5)的双曲线的标准方程.
8.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
【参考答案】
【自主学习】
差的绝对值 F1,F2 两焦点间
思考:(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
(2)点M在双曲线的右支上.
-=1 -=1 a2+b2
思考:焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.
【小试牛刀】
1.× × × ×
2.B
【经典例题】
例1 解:(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),
把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;
当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),
把点A的坐标代入,得b2=9.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为焦点在x轴上,可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
将点(4,-2)和(2,2)代入方程得解得a2=8,b2=4,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
因为点P,Q在双曲线上,则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
【跟踪训练】1 解:(1)若焦点在x轴上,则方程可化为-=1,所以+k=32,即k=6;
若焦点在y轴上,则方程可化为-=1,所以-k+=32,即k=-6.
综上所述,k的值为6或-6.
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2=a+2(a>0).
由椭圆方程,知c2=4-a2,所以a+2=4-a2,
即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去).因此a的值为1.
例2 解:双曲线的标准方程为-=1,故a=3,b=4,c==5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2===0,且∠F1PF2∈(0°,180°),
所以∠F1PF2=90°,
故=|PF1|·|PF2|=×32=16.
【跟踪训练】2 5. 4 解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.
例3解:以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(-2,0),B(2,0).
由正弦定理,得sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A+sin C=2sin B,∴2|BC|+|AB|=2|AC|,
即|AC|-|BC|==2<|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意,设所求轨迹方程为-=1(x>a),
∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.
即所求轨迹方程为-=1(x>).
【跟踪训练】3 解:圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.
故动圆圆心M的轨迹方程为-=1.
【当堂达标】
1.AD 解析:因为a2=25,所以a=5.由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=10.由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.故选:AD。
2.D解析:F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.
3.D 解析:根据题意可知,双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=.
4.C解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
5.(-∞,-2) 解析:由双曲线标准方程的特点知2+m<0且-(m+1)>0,解得m<-2.即m的取值范围为(-∞,-2).
6. 2 解析:不妨设点P在双曲线的右支上,
因为PF1⊥PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(2)2,
又|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,
可得2|PF1|·|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,
所以|PF1|+|PF2|=2.
7.解:由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3),
∵A(4,-5)在双曲线上,
∴2a=||AF1|-|AF2||=|-|=2,
∴a=,∴b2=c2-a2=9-5=4.
故双曲线的标准方程为-=1.
8.解:在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.
设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).
由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,
两边平方,得m2+n2-2mn=36.
又∵∠F1PF2=90°,
∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.
∴mn=32,∴S△F1PF2=mn=16.
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀学案设计: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀学案设计,共9页。学案主要包含了学习目标,学习过程等内容,欢迎下载使用。
人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案: 这是一份人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案,共11页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年3.2 双曲线导学案: 这是一份2020-2021学年3.2 双曲线导学案,共10页。学案主要包含了典例解析,情景导学等内容,欢迎下载使用。