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2023年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. 12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列运算正确的是( )
A. (a+b)2=a2+b2 B. a2+a2=a4
C. 2x3−x3=2 D. (x2)3=x6
3. 中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米.“450千米”用科学记数法表示是( )
A. 4.5×105米 B. 0.45×107米 C. 45×105米 D. 4.5×107米
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是( )
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的口袋里装有1个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出2个球，则摸出的2个球都是黑球的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 14
6. 已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A. 60π B. 65π C. 90π D. 120π
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是( )
A. 4x+2(35−x)=94 B. x2+35−x4=94
C. 2x+4(35−x)=94 D. x2+94−x4=35
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为( )
A. 7
B. 2 7
C. 5
D. 10
9. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−(x−4)2+m(m是常数)上.若x1<48，则下列大小比较正确的是( )
A. y1>y2>m B. y2>y1>m C. m>y1>y2 D. m>y2>y1
10. 如图正方形ABCD，点E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，在BC上取点G，使得∠EFG=∠EFD，连结EG.若要求正方形ABCD的面积，则只需知道( )
A. △EGF的面积
B. △CGF的面积
C. △EGF的周长
D. △CGF的周长
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 16= ______ ．
12. 化简(x+3)2−x(x−3)= ______ ．
13. 若5a+2b=6，−2a+b=3，则a+b的值为______ ．
14. 在垃圾分类知识竞赛中，10名学生得分情况如表，那么这10名学生所得分数的众数是______ ．
人数(人)
3
4
2
1
得分(分)
80
85
90
95
15. 如图，已知⊙O的半径为2，AB所对的圆心角∠AOB=60°，点C为AB的中点，点D为半径OB上一动点(D不与B重合).将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、AB围成的封闭图形的边界上，则CD的长为______．
16. 如图，y=−2x+b与y=k1x(k1>0,x>0)交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交y=k2x(k2>0,x>0)于点D，点D关于直线AB的对称点E恰好落在x轴上，且AE⊥x轴，连接BE，则k1k2= ______ ；若△ABE的面积为15，则k1的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)化简：2aa2−4−1a−2；
(2)解不等式：3x>x2+5．
18. (本小题8.0分)
由24个边长为1的小正方形组成的6×4的网格中，线段AB的两个端点都在格点(小正方形的顶点)上.请在所给的网格中各画一个△ABC，使得△ABC是轴对称图形，并画出其对称轴.(画出两种情况即可，全等图形视为一种情况)
19. (本小题8.0分)
某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与《新型冠状病科普知识》测试，社区管理员随机抽取了部分居民的答卷成绩(成绩得分用x表示，共分成五组：A：x≤60，B：60
(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数；
(3)若《新型冠状病科普知识》测试成绩超过70分视为对新型冠状病毒科普知识了解.请估计该社区5000位居民中对新型冠状病毒科普知识了解的人数．
20. (本小题10.0分)
如图1是一种可折叠台灯，其主体部分的示意图如图2，由固定灯座(Rt△ABC)和可转动的光源(BD)组成，其中AB⊥AC，BD//AC，经测量，灯座高度(AB)为30cm，光源(BD)为24cm，∠ABC=8°．
(1)求台灯灯座的宽度AC的长；
(2)此种台灯配置的是合盖关灯，当光源BD绕点B旋转至光源与灯座(BC)夹角不超过30°时，台灯自动关闭电源.求台灯自动关闭电源时，台灯光源末端D′距桌面的最大高度.(结果精确到0.1cm.参考数据；sin8°≈0.139，cos8°≈0.990，tan8°≈0.141，sin38°≈0.616，cos38°≈0.781，tan38°≈0.788)
21. (本小题10.0分)
随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2=12x2−11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
22. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为(0,−3)，且经过D(2,−3)．
(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得A′B′，其中A、B的对应点分别是A′、B′．
①当B′与D点重合时，请在图中画出线段A′B′，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段AB上，若线段A′B′与抛物线y=x2+bx+c有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
23. (本小题12.0分)
【基础巩固】如图1，P是∠ABC内部一点，在射线BP上取点D、E，使得∠CEP=∠ADP=∠ABC.求证：△ABD∽△BCE；
【尝试应用】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC上一点，连接BD，在BD上取点E、F，连接CE、AF，使得∠AFD=∠CED=45°.若BF=2，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，D是AC上一点，连接BD，在BD上取点E，连接CE.若∠CED=60°，BEDE=85，求∠BCE的正切值．
24. (本小题14.0分)
如图1，一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段OB上一点，过A、O、P三点的圆与y=−x+6的图象交于点D.点C的坐标为(−3,0)，连接AC交圆于点E．
(1)求∠BAO的度数；
(2)如图2，连接DE，EP，AP，当DE//BC时，
①判断△AEP的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
(3)如图1，设点P的横坐标为m，AD+ 102AE的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得，−2023的相反数是2023．
故选：C．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】D
【解析】解：A、(a+b)2=a2+2ab+b2，计算错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，计算错误，不符合题意；
C、2x3−x3=x3，计算错误，不符合题意；
D、(x2)3=x6，计算正确，符合题意；
故选：D．
根据完全平方公式及合并同类项、幂的乘方运算依次判断即可．
题目主要考查完全平方公式及合并同类项、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5.【答案】B
【解析】解：列出树状图如下：
摸出的2个球共有6种可能，其中2个球都是黑球的结果数为2，
所以摸出的2个球都是黑球的概率是26=13．
故选：B．
先根据题意画出树状图，确定所有可能结果数和符合题意结果数，然后运用概率公式计算即可．
本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为： 52+122=13，其弧长为：2×π×5=10π，
∴圆锥侧面展开图的面积为：12×10π×13=65π．
故选：B．
先利用勾股定理求出圆锥侧面展开图扇形的半径，利用侧面展开图与底面圆的关系求出侧面展开图的弧长，再利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面展开图的面积．
本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解，设鸡x只，则兔(35−x)只，
由题意可得：2x+4(35−x)=94，
故选：C．
设鸡x只，则兔(35−x)只，根据共有“94条腿”，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=34=AOOB，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= AO2+OB2= 32+42=5，
故选：C．
根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=−(x−4)2+m，
∴a=−1<0，
∴当x=4时，有最大值为y=m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−(x−4)2+m对称轴为直线x=4，
设A(x1,y1)的对称点为A1(x0,y1)，即x0>4，
∴x1+x02=4，
∴x1+x0=8，
∵x1+x2>8，
∴x1+x2>x1+x0，
∴x2>x0，
∴4
故选：C．
根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4)2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=4，根据x1<48，设A(x1,y1)的对称点为A1(x0,y1)，得出x1+x0=8，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则当4y1>y2．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b2a，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
10.【答案】D
【解析】解：在BC上取点H，使得BH=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CF=BH，
连接EH，FH，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴BE=CH，
∴△BEH≌△CHF(SAS)，
∴EH=FH，∠BEH=∠CHF，
∵∠BEH+∠EHB=90°，
∴∠CHF+∠EHB=90°，
∴∠EHF=90°，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF=∠HDE=45°，
设∠HFG=α，则∠EFG=45°+α，
∵∠EFG=∠EFD，
∴∠GFC=180°−∠EFD−∠EFG=180°−2∠EFG=180°−2(45°+α)=90°−2α，
∵∠C=90°，
∴∠FGC=2α，
∵∠HFG=α，
∴∠HFG=∠FHG=α，
∴GH=GF，
∴BC=BH+GH+CG=CF+FG+CG，即正方形的边长等于△CGF的周长，
所以只需要知道△CGF的周长即可求出正方形的面积，
故选：D．
在BC上取点H，使得BH=CF，证明△BEH≌△CHF(SAS)，推出△EHF是等腰直角三角形，设∠HFG=α，则∠EFG=45°+α，根据∠EFG=∠EFD，推出∠GFC=90°−2α，得到∠FGC=2α，证明GH=GF，即可得到正方形的边长等于△CGF的周长，由此即可求出面积．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明△EHF是等腰直角三角形是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
故答案为：4．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
12.【答案】9x+9
【解析】解：(x+3)2−x(x−3)
=x2+6x+9−x2+3x
=9x+9．
故答案为：9x+9．
先利用完全平方公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可．
本题考查的是整式的混合运算，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：5a+2b=6①−2a+b=3②，
①+②得：3(a+b)=9，
则a+b=3，
故答案为：3．
方程组中两方程相加即可求出a+b的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了整体思想求代数式的值，解题关键是掌握加减消元法方程．
14.【答案】85
【解析】解：这10名学生所得分数中，85出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为85，
故答案为：85．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
15.【答案】1
∵∠BDC=∠EDC=90°，∠AOB=60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD=30°，OA=OC=2，
∴CD=OC⋅sin30°=2×12=1，
∴OD=OC⋅cos30°=2× 32= 3，
∴BD=OB−OD=2− 3，
∵DE=DB，
∴OE=OD−DE= 3−(2− 3)=2 3−2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE=CB=CA，
同E在OB上可知此时OE=2 3−2，C( 3,1)，
∴点E的横坐标为：(2 3−2)×cos60°= 3−1，点E的纵坐标为：(2 3−2)×sin60°=3− 3，
∴E( 3−1,3− 3)，
∵B(2,0)，
∴直线BE的解析式为y=−x+2，
∴∠EBD=45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB=45°，
∴∠BDE=2∠CDB=90°，
∵E( 3−1,3− 3)，
∴D( 3−1,0)，
∵C( 3,1)，
∴CD= 2，
观察图形可知：CD的取值范围1
本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置解决问题．
16.【答案】12 20
【解析】解：(1)设A(t,k1t)，则E(t,0)，
联立y=−2x+by=k1x，
即k1x=−2x+b，
即2x2−bx+k1=0，
则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，
∴x1x2=k12，
∵x1=t，
∴x2=k12t，
∴B(k12t,2t)，
∴D(k22t,2t)，
∵x1+x2=b2，
∴x2=x1−b2，
即k12t=t−b2，即b=k1t+2t①，
∵D，E关于直线AB对称，
∴DE的中点(k22t+t2,t)在y=−2x+b上，
∴t=−2(k22t+t2)+b，
即2t=b−k22t②，
由①②得：2t=k1t+2t−k22t，
即k1t=k22t，
∴k1k2=12，
故答案为：12．
(2)∵D，E关于AB对称，
∴AD=AE，
又A(t,k1t)，D(k22t,2t)，则AE=k1t，
∵k1k2=12，
∴D(k1t,2t)，
则CD=k1t，
∴CD=AE，
∴AD=CD，
∵A(t,k1t)，D(k1t,2t)，
∴AD2=(k1t−t)2+(k1t−2t)2，CD2=(k1t)2，
即(k1t−2t)2+(k1t−t)2=(k1t)2，
解得：k1=t2或k1=5t2，
∵S△ABE=12AE×(xB−xA)=15，
12×k1t×(k12t−t)=15，
当k1=t2时，12t(t2−t)=15，无解(舍去)，
当k1=5t2时，12×5t2t×(5t22t−t)=15，
解得：t=2，t=−2(舍去)，
∴k=20，
故答案为：20．
(1)设A(t,k1t)，则E(t,0)，联立直线，则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，根据根与系数的关系得出b=k1t+2t①，根据题意DE的中点(k22t+t2,t)在y=−2x+b上，得2t=b−k22t②，联立①②即可求解；
(2)根据(1)的结论得出A(t,k1t)，D(k1t,2t)，证明AD=CD，勾股定理得出AD2=(k1t−t)2+(k1t−2t)2，CD2=(k1t)2，即(k1t−2t)2+(k1t−t)2=(k1t)2，则k1=t2或k1=5t2，根据S△ABE=12AE×(xB−xA)=15，进而分类讨论，即可求解．
本题考查了反比例函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2aa2−4−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)
=2a−a−2(a+2)(a−2)
=a−2(a+2)(a−2)
=1a+2．
(2)3x>x2+5．
3x−x2>5，
5x2>5，
x>2．
【解析】(1)先通分，然后合并，化为最简分式解题；
(2)利用移项，合并，把系数化为1解题即可．
本题考查分式的加减运算和一元一次不等式的解法，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图，以AB为腰，AO为对称轴；
如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；
【解析】以AB为腰和底两种情况作图即可．
本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)10÷20%=50(个)，
答：被抽取居民的答卷数量为50个；
(2)D组的人数为50−10−3−15−10=12，
扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数为360°×1550=108°；
补全频率分布直方图如下：
(3)5000×15+12+1050=3700(人)．
答：估计该社区5000位居民中对新型冠状病毒科普知识了解的人数为3700人．
【解析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出被抽取居民的答卷数量；
(2)根据总人数求出D组的人数，即可补全频率分布直方图，用360°乘以C组的百分比即可“C”所对应的圆心角度数；
(3)利用样本估总体，用5000乘以测试成绩超过70分的百分比即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解决本题的关键是利用统计图表获取信息．
20.【答案】解：(1)在△ABC中，AB⊥AC，即∠BAC=90，AB=30cm，∠BAC=8°，
∴tan8°=ACAB≈0.141，
∴AC≈30×0.141≈4.3(cm)，
答：台灯灯座的宽度AC的长约为4.3cm；
(2)过点D′作D′F⊥AB于点F，
由题意得∠D′BF=∠D′BE+∠ABC=38°，
在Rt△D′BF中，BD=24cm，
∴cos38°=BFBD′≈0.781，
∴BF≈24×0.781≈18.7，
∴AF=AB−BF=30−18.7=11.3(cm)，
答：台灯自动关闭电源时，台灯光源末端D′距桌面的最大高度约为11.3cm．
【解析】(1)在Rt△ABC中，利用正切函数的定义即可求解；
(2)过点D′作D′F⊥AB于点F，在Rt△D′BF中，利用余弦函数的定义求得BF的长，据此求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y1=kx+b，将(8,18)，(9,20)，代入得：
8k+b=189k+b=20，
解得：k=2b=2，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y1+y2=2x+2+12x2−11x+78=12x2−9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin=4×12×80−924×12=39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
(1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=12x2−9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
22.【答案】解：(1)把(0,−3)和(2,−3)代入y=x2+bx+c得：
c=−34+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴y=x2−2x−3，
(2)①如图，过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，
则∠PEB=∠PFD=90°，EF=3，
由旋转得：∠BPD=90°，PB=PD，
∴∠EPB+∠BPE=90°，∠EPB+∠FPD=90°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PEB≌△DFP，
∴PF=BE，PE=DF，
令y=0，则x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3
∴A(−1,0)，B(3,0)
设P点坐标为(x,y)，
则PF=BE=3−x，PE=DF=2−x，
即EF=3−x+2−x=3，
解得：x=1，
∴P点坐标为(−1,−1)，
②∵PB=3−m，
当x=m时，y=m2−2m−3，
由题可知：3−m≥0−(m2−2m−3)，
即m(m−3)≥0，
由同号两数相乘得正可知：m，m−3同号，
∴m≥0m−3≥0或m≤0m−3≤0
解得：m≤0或m≥3，
又∵−1≤m≤3，
∴−1≤m≤0或m=3．
【解析】(1)运用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，则△PEB≌△DFP，即PF=BE，PE=DF，根据EF=3解题即可；
②由当x=m时，y=m2−2m−3，由旋转可得PB=3−m≥0−(m2−2m−3)，再根据−1≤m≤3求出解集即可．
本题考查待定系数法求函数关系式，旋转的性质和全等三角形，二次函数图象及其性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】【基础巩固】证明：∵∠ABD+∠CBE=∠ABC，∠ABD+∠BAD=∠ADP，∠ABC=∠ADP，
∴∠CBE=∠BAD，
又∵∠ADB=180°−∠ADP，∠BEC=180°−∠CEP，∠ADP=∠CEP，
∴∠ADB=∠BEC，
∴△ABD∽△BCE．
【尝试应用】∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AB，
即：∠ABF+∠CBE=∠ABC=45°，
又∵∠ABF+∠BAF=∠AFD=45°，BC= 2AB，∠ABF+∠BAF=∠AFD=45°．
∴∠CBE=∠BAF，
又∵∠AFB=180°−∠AFD=135°，∠BEC=180°−∠CED=135°，
∴∠BEC=∠AFB，
∴△BEC∽△AFB，
∴CEBF=BCAB= 2，
∴CE= 2BF=2 2，
故CE的长为：2 2．
【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使∠AFD=60°，作AG⊥BD于点G，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，AB=12BC．
即：∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°，
又∵∠ABF+∠BAF=∠AFD=60°，
∴∠BAF=∠CBE，
又∠AFB=180°−∠AFD=120°，∠BEC=180°−∠CED=120°，
∴∠AFB=∠BEC，
∴△AFB∽△BE，
∴ABBC=AFBE=12，∠BCE=∠ABF，
∴AF=12BE，
∵BEDE=85，
∴令BE=8t，则DE=5t，
∴AF=12BE=4t，
又∵∠AFD=60°，FG⊥DF
∴在Rt△AFG中，∠FAG=30°，
∴FG=12AF=2t，
由勾股定理可得：AG= AF2−FG2=2 3t，
又∵∠ABG+∠BAG=180°−∠AGB=90°，∠BAG+∠DAG=∠BAC=90°，
∴∠ABG=∠DAG，
∴△ABG∽△DAG，
∴AGDG=BGAG，
∴AG2=DG⋅BG，
设EF=x，则BG=10t+x，DG=DE−EF−FG=3t−x．
∴(2 3t)2=(10t+x)(3t−x)，
解得：x=2t，
∴BG=12t，
∴tan∠ABG=tan∠BCE=2 3t12t= 36
故∠BCE的正切值为： 36．
【解析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；
【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AB，再推导△BEC∽△AFB，然后利用等腰三角形的性质得到CEBF=BCAB= 2，计算解题；
【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使∠AFD=60°，作AG⊥BD于点G，则可得到△AFB∽△BE，即ABBC=AFBE=12，∠BCE=∠ABF，进而证明△ABG∽△DAG，得到AG2=DG⋅BG，设BE=8t，可以求出BG=12t解题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形外角，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，
∴A(0,6)，B(6,0)，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BAO=45°．
(2)①∵DE//BC，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠ADE=∠ABO=∠APE=45°，∠DEP=∠EPO，∠DAP+∠PAO=45°，
∵∠EAO=∠EPO，∠DAP=∠DEP，
∴∠DEP=∠EPO=∠DAP=∠EAO，
∴∠EAO+∠PAO=45°，
∴∠EAP=45°，
∴∠EAP=∠EPA=45°，∠AEP=90°，
∴AE=PE，∠AEP=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形．
②如图，过点D作DF⊥PB于点F，设DE与y轴的交点为G，
∵A(0,6)，B(6,0)，C(−3,0)，
∴OA=OB=6，OC=3，
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OCOA=36=12，
在Rt△AEG中，tan∠GAE=EGOG=12，
设EG=m，则AG=2m，
∴AE= m2+(2m)2= 5m，
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴AP是圆的直径，AP= AE2+EP2= 2AE= 10m，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
∴∠DPB=∠DBP=45°，
∴DP=DB．
∵DE//BC，∠AOB=90°，
∴∠ADE=∠ABO=∠APE=45°，∠AGD=∠AOB=90°，
∴AG=GD，
∴AD= AG2+GD2= 2AG=2 2m，
∵∠AGD=∠AOB=∠DFO=90°，
∴四边形OFDG是矩形，
∴OF=DG=AG=2m，BF=DF=OB−OF=6−2m，
在Rt△BDF中，sin45°=DFBD= 22，
∴DP=DB= 2(6−2m)，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+PD2，
∴( 10m)2=(2 2m)2+( 2(6−2m))2，
解得m=2，m=6(舍去)，
∴DF=6−2m=2，OF=2m=4，
故点D(4,2)．
(3)AD+ 102AE的值是定值，且为4 2.理由如下：
如图，连接PD，
∵A(0,6)，B(6,0)，C(−3,0)，P(m,0)，
∴OA=OB=6，OC=3，OP=m，PB=6−m，
∴PC=m+3，AC= 32+62=3 5，AB= 62+62=6 2，
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OCOA=36=12,sin∠OAC=OCAC=33 5= 55，
∵∠AOP=90°，
∴AP是圆的直径，
∴∠ADP=∠BDP=90°，∠CAO=∠CPE，
在Rt△PEC中，tan∠EPC=ECEP=12,sin∠EPC=ECEP=EC3+m= 55，
∴EC= 55(3+m),EP=2EC=2 55(3+m)，
∴AE=AC−EC=3 5− 55(3+m)= 55(2−m)，
∵∠ABP=45°，∠BDP=90°，
∴BD=PBsin45°= 22(6−m)，
∴AD=AB−BD=6 2− 22(6−m)=3 2+ 22m，
∴AD+ 102AE=3 2+ 22m+ 102× 55(2−m)=3 2+ 22m+ 2− 22m=4 2，
故AD+ 102AE的值是定值，且为4 2．
【解析】(1)根据一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，得到A(0,6)，B(6,0)，继而得到OA=OB，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
(2)①根据平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定证明即可．
②连接DP，过点D作DF⊥PB于点F，设DE与y轴的交点为G，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数计算即可．
(3)先用m表示线段AD，AE，代入AD+ 102AE化简计算即可．
本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．
2023年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. 12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列运算正确的是( )
A. (a+b)2=a2+b2 B. a2+a2=a4
C. 2x3−x3=2 D. (x2)3=x6
3. 中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米.“450千米”用科学记数法表示是( )
A. 4.5×105米 B. 0.45×107米 C. 45×105米 D. 4.5×107米
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是( )
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的口袋里装有1个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出2个球，则摸出的2个球都是黑球的概率是( )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 14
6. 已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A. 60π B. 65π C. 90π D. 120π
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是( )
A. 4x+2(35−x)=94 B. x2+35−x4=94
C. 2x+4(35−x)=94 D. x2+94−x4=35
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为( )
A. 7
B. 2 7
C. 5
D. 10
9. 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−(x−4)2+m(m是常数)上.若x1<4
A. y1>y2>m B. y2>y1>m C. m>y1>y2 D. m>y2>y1
10. 如图正方形ABCD，点E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，在BC上取点G，使得∠EFG=∠EFD，连结EG.若要求正方形ABCD的面积，则只需知道( )
A. △EGF的面积
B. △CGF的面积
C. △EGF的周长
D. △CGF的周长
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 16= ______ ．
12. 化简(x+3)2−x(x−3)= ______ ．
13. 若5a+2b=6，−2a+b=3，则a+b的值为______ ．
14. 在垃圾分类知识竞赛中，10名学生得分情况如表，那么这10名学生所得分数的众数是______ ．
人数(人)
3
4
2
1
得分(分)
80
85
90
95
15. 如图，已知⊙O的半径为2，AB所对的圆心角∠AOB=60°，点C为AB的中点，点D为半径OB上一动点(D不与B重合).将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、AB围成的封闭图形的边界上，则CD的长为______．
16. 如图，y=−2x+b与y=k1x(k1>0,x>0)交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交y=k2x(k2>0,x>0)于点D，点D关于直线AB的对称点E恰好落在x轴上，且AE⊥x轴，连接BE，则k1k2= ______ ；若△ABE的面积为15，则k1的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)化简：2aa2−4−1a−2；
(2)解不等式：3x>x2+5．
18. (本小题8.0分)
由24个边长为1的小正方形组成的6×4的网格中，线段AB的两个端点都在格点(小正方形的顶点)上.请在所给的网格中各画一个△ABC，使得△ABC是轴对称图形，并画出其对称轴.(画出两种情况即可，全等图形视为一种情况)
19. (本小题8.0分)
某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与《新型冠状病科普知识》测试，社区管理员随机抽取了部分居民的答卷成绩(成绩得分用x表示，共分成五组：A：x≤60，B：60
(2)补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数；
(3)若《新型冠状病科普知识》测试成绩超过70分视为对新型冠状病毒科普知识了解.请估计该社区5000位居民中对新型冠状病毒科普知识了解的人数．
20. (本小题10.0分)
如图1是一种可折叠台灯，其主体部分的示意图如图2，由固定灯座(Rt△ABC)和可转动的光源(BD)组成，其中AB⊥AC，BD//AC，经测量，灯座高度(AB)为30cm，光源(BD)为24cm，∠ABC=8°．
(1)求台灯灯座的宽度AC的长；
(2)此种台灯配置的是合盖关灯，当光源BD绕点B旋转至光源与灯座(BC)夹角不超过30°时，台灯自动关闭电源.求台灯自动关闭电源时，台灯光源末端D′距桌面的最大高度.(结果精确到0.1cm.参考数据；sin8°≈0.139，cos8°≈0.990，tan8°≈0.141，sin38°≈0.616，cos38°≈0.781，tan38°≈0.788)
21. (本小题10.0分)
随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2=12x2−11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
22. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交点C的坐标为(0,−3)，且经过D(2,−3)．
(1)求b和c的值；
(2)点P是坐标平面内的一动点，将线段AB绕点P顺时针旋转90°得A′B′，其中A、B的对应点分别是A′、B′．
①当B′与D点重合时，请在图中画出线段A′B′，并直接写出点P的坐标；
②当点P在线段AB上，若线段A′B′与抛物线y=x2+bx+c有公共点，请直接写出P点的横坐标m的取值范围．
23. (本小题12.0分)
【基础巩固】如图1，P是∠ABC内部一点，在射线BP上取点D、E，使得∠CEP=∠ADP=∠ABC.求证：△ABD∽△BCE；
【尝试应用】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC上一点，连接BD，在BD上取点E、F，连接CE、AF，使得∠AFD=∠CED=45°.若BF=2，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，D是AC上一点，连接BD，在BD上取点E，连接CE.若∠CED=60°，BEDE=85，求∠BCE的正切值．
24. (本小题14.0分)
如图1，一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，P是线段OB上一点，过A、O、P三点的圆与y=−x+6的图象交于点D.点C的坐标为(−3,0)，连接AC交圆于点E．
(1)求∠BAO的度数；
(2)如图2，连接DE，EP，AP，当DE//BC时，
①判断△AEP的形状，并说明理由；
②求点D的坐标．
(3)如图1，设点P的横坐标为m，AD+ 102AE的值是否会随m的变化而变化？若变化，请用含m的式子表示；若不变，请求出这个值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得，−2023的相反数是2023．
故选：C．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】D
【解析】解：A、(a+b)2=a2+2ab+b2，计算错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，计算错误，不符合题意；
C、2x3−x3=x3，计算错误，不符合题意；
D、(x2)3=x6，计算正确，符合题意；
故选：D．
根据完全平方公式及合并同类项、幂的乘方运算依次判断即可．
题目主要考查完全平方公式及合并同类项、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，如图所示：．
故选：B．
俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．
本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5.【答案】B
【解析】解：列出树状图如下：
摸出的2个球共有6种可能，其中2个球都是黑球的结果数为2，
所以摸出的2个球都是黑球的概率是26=13．
故选：B．
先根据题意画出树状图，确定所有可能结果数和符合题意结果数，然后运用概率公式计算即可．
本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为： 52+122=13，其弧长为：2×π×5=10π，
∴圆锥侧面展开图的面积为：12×10π×13=65π．
故选：B．
先利用勾股定理求出圆锥侧面展开图扇形的半径，利用侧面展开图与底面圆的关系求出侧面展开图的弧长，再利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面展开图的面积．
本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解，设鸡x只，则兔(35−x)只，
由题意可得：2x+4(35−x)=94，
故选：C．
设鸡x只，则兔(35−x)只，根据共有“94条腿”，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=34=AOOB，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= AO2+OB2= 32+42=5，
故选：C．
根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=−(x−4)2+m，
∴a=−1<0，
∴当x=4时，有最大值为y=m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−(x−4)2+m对称轴为直线x=4，
设A(x1,y1)的对称点为A1(x0,y1)，即x0>4，
∴x1+x02=4，
∴x1+x0=8，
∵x1+x2>8，
∴x1+x2>x1+x0，
∴x2>x0，
∴4
故选：C．
根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4)2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=4，根据x1<4
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b2a，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
10.【答案】D
【解析】解：在BC上取点H，使得BH=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CF=BH，
连接EH，FH，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴BE=CH，
∴△BEH≌△CHF(SAS)，
∴EH=FH，∠BEH=∠CHF，
∵∠BEH+∠EHB=90°，
∴∠CHF+∠EHB=90°，
∴∠EHF=90°，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF=∠HDE=45°，
设∠HFG=α，则∠EFG=45°+α，
∵∠EFG=∠EFD，
∴∠GFC=180°−∠EFD−∠EFG=180°−2∠EFG=180°−2(45°+α)=90°−2α，
∵∠C=90°，
∴∠FGC=2α，
∵∠HFG=α，
∴∠HFG=∠FHG=α，
∴GH=GF，
∴BC=BH+GH+CG=CF+FG+CG，即正方形的边长等于△CGF的周长，
所以只需要知道△CGF的周长即可求出正方形的面积，
故选：D．
在BC上取点H，使得BH=CF，证明△BEH≌△CHF(SAS)，推出△EHF是等腰直角三角形，设∠HFG=α，则∠EFG=45°+α，根据∠EFG=∠EFD，推出∠GFC=90°−2α，得到∠FGC=2α，证明GH=GF，即可得到正方形的边长等于△CGF的周长，由此即可求出面积．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明△EHF是等腰直角三角形是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
故答案为：4．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
12.【答案】9x+9
【解析】解：(x+3)2−x(x−3)
=x2+6x+9−x2+3x
=9x+9．
故答案为：9x+9．
先利用完全平方公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可．
本题考查的是整式的混合运算，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：5a+2b=6①−2a+b=3②，
①+②得：3(a+b)=9，
则a+b=3，
故答案为：3．
方程组中两方程相加即可求出a+b的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了整体思想求代数式的值，解题关键是掌握加减消元法方程．
14.【答案】85
【解析】解：这10名学生所得分数中，85出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为85，
故答案为：85．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
15.【答案】1
∵∠BDC=∠EDC=90°，∠AOB=60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD=30°，OA=OC=2，
∴CD=OC⋅sin30°=2×12=1，
∴OD=OC⋅cos30°=2× 32= 3，
∴BD=OB−OD=2− 3，
∵DE=DB，
∴OE=OD−DE= 3−(2− 3)=2 3−2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE=CB=CA，
同E在OB上可知此时OE=2 3−2，C( 3,1)，
∴点E的横坐标为：(2 3−2)×cos60°= 3−1，点E的纵坐标为：(2 3−2)×sin60°=3− 3，
∴E( 3−1,3− 3)，
∵B(2,0)，
∴直线BE的解析式为y=−x+2，
∴∠EBD=45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB=45°，
∴∠BDE=2∠CDB=90°，
∵E( 3−1,3− 3)，
∴D( 3−1,0)，
∵C( 3,1)，
∴CD= 2，
观察图形可知：CD的取值范围1
本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置解决问题．
16.【答案】12 20
【解析】解：(1)设A(t,k1t)，则E(t,0)，
联立y=−2x+by=k1x，
即k1x=−2x+b，
即2x2−bx+k1=0，
则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，
∴x1x2=k12，
∵x1=t，
∴x2=k12t，
∴B(k12t,2t)，
∴D(k22t,2t)，
∵x1+x2=b2，
∴x2=x1−b2，
即k12t=t−b2，即b=k1t+2t①，
∵D，E关于直线AB对称，
∴DE的中点(k22t+t2,t)在y=−2x+b上，
∴t=−2(k22t+t2)+b，
即2t=b−k22t②，
由①②得：2t=k1t+2t−k22t，
即k1t=k22t，
∴k1k2=12，
故答案为：12．
(2)∵D，E关于AB对称，
∴AD=AE，
又A(t,k1t)，D(k22t,2t)，则AE=k1t，
∵k1k2=12，
∴D(k1t,2t)，
则CD=k1t，
∴CD=AE，
∴AD=CD，
∵A(t,k1t)，D(k1t,2t)，
∴AD2=(k1t−t)2+(k1t−2t)2，CD2=(k1t)2，
即(k1t−2t)2+(k1t−t)2=(k1t)2，
解得：k1=t2或k1=5t2，
∵S△ABE=12AE×(xB−xA)=15，
12×k1t×(k12t−t)=15，
当k1=t2时，12t(t2−t)=15，无解(舍去)，
当k1=5t2时，12×5t2t×(5t22t−t)=15，
解得：t=2，t=−2(舍去)，
∴k=20，
故答案为：20．
(1)设A(t,k1t)，则E(t,0)，联立直线，则A，B的横坐标为方程的两个根，分别为x1，x2，根据根与系数的关系得出b=k1t+2t①，根据题意DE的中点(k22t+t2,t)在y=−2x+b上，得2t=b−k22t②，联立①②即可求解；
(2)根据(1)的结论得出A(t,k1t)，D(k1t,2t)，证明AD=CD，勾股定理得出AD2=(k1t−t)2+(k1t−2t)2，CD2=(k1t)2，即(k1t−2t)2+(k1t−t)2=(k1t)2，则k1=t2或k1=5t2，根据S△ABE=12AE×(xB−xA)=15，进而分类讨论，即可求解．
本题考查了反比例函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2aa2−4−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)
=2a−a−2(a+2)(a−2)
=a−2(a+2)(a−2)
=1a+2．
(2)3x>x2+5．
3x−x2>5，
5x2>5，
x>2．
【解析】(1)先通分，然后合并，化为最简分式解题；
(2)利用移项，合并，把系数化为1解题即可．
本题考查分式的加减运算和一元一次不等式的解法，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图，以AB为腰，AO为对称轴；
如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；
【解析】以AB为腰和底两种情况作图即可．
本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)10÷20%=50(个)，
答：被抽取居民的答卷数量为50个；
(2)D组的人数为50−10−3−15−10=12，
扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数为360°×1550=108°；
补全频率分布直方图如下：
(3)5000×15+12+1050=3700(人)．
答：估计该社区5000位居民中对新型冠状病毒科普知识了解的人数为3700人．
【解析】(1)根据A组的人数和百分比即可求出被抽取居民的答卷数量；
(2)根据总人数求出D组的人数，即可补全频率分布直方图，用360°乘以C组的百分比即可“C”所对应的圆心角度数；
(3)利用样本估总体，用5000乘以测试成绩超过70分的百分比即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解决本题的关键是利用统计图表获取信息．
20.【答案】解：(1)在△ABC中，AB⊥AC，即∠BAC=90，AB=30cm，∠BAC=8°，
∴tan8°=ACAB≈0.141，
∴AC≈30×0.141≈4.3(cm)，
答：台灯灯座的宽度AC的长约为4.3cm；
(2)过点D′作D′F⊥AB于点F，
由题意得∠D′BF=∠D′BE+∠ABC=38°，
在Rt△D′BF中，BD=24cm，
∴cos38°=BFBD′≈0.781，
∴BF≈24×0.781≈18.7，
∴AF=AB−BF=30−18.7=11.3(cm)，
答：台灯自动关闭电源时，台灯光源末端D′距桌面的最大高度约为11.3cm．
【解析】(1)在Rt△ABC中，利用正切函数的定义即可求解；
(2)过点D′作D′F⊥AB于点F，在Rt△D′BF中，利用余弦函数的定义求得BF的长，据此求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设y1=kx+b，将(8,18)，(9,20)，代入得：
8k+b=189k+b=20，
解得：k=2b=2，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y1+y2=2x+2+12x2−11x+78=12x2−9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin=4×12×80−924×12=39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
(1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=12x2−9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
22.【答案】解：(1)把(0,−3)和(2,−3)代入y=x2+bx+c得：
c=−34+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴y=x2−2x−3，
(2)①如图，过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，
则∠PEB=∠PFD=90°，EF=3，
由旋转得：∠BPD=90°，PB=PD，
∴∠EPB+∠BPE=90°，∠EPB+∠FPD=90°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PEB≌△DFP，
∴PF=BE，PE=DF，
令y=0，则x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3
∴A(−1,0)，B(3,0)
设P点坐标为(x,y)，
则PF=BE=3−x，PE=DF=2−x，
即EF=3−x+2−x=3，
解得：x=1，
∴P点坐标为(−1,−1)，
②∵PB=3−m，
当x=m时，y=m2−2m−3，
由题可知：3−m≥0−(m2−2m−3)，
即m(m−3)≥0，
由同号两数相乘得正可知：m，m−3同号，
∴m≥0m−3≥0或m≤0m−3≤0
解得：m≤0或m≥3，
又∵−1≤m≤3，
∴−1≤m≤0或m=3．
【解析】(1)运用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①过P点作x轴的垂线交x轴于点E，交CD于点F，则△PEB≌△DFP，即PF=BE，PE=DF，根据EF=3解题即可；
②由当x=m时，y=m2−2m−3，由旋转可得PB=3−m≥0−(m2−2m−3)，再根据−1≤m≤3求出解集即可．
本题考查待定系数法求函数关系式，旋转的性质和全等三角形，二次函数图象及其性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】【基础巩固】证明：∵∠ABD+∠CBE=∠ABC，∠ABD+∠BAD=∠ADP，∠ABC=∠ADP，
∴∠CBE=∠BAD，
又∵∠ADB=180°−∠ADP，∠BEC=180°−∠CEP，∠ADP=∠CEP，
∴∠ADB=∠BEC，
∴△ABD∽△BCE．
【尝试应用】∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AB，
即：∠ABF+∠CBE=∠ABC=45°，
又∵∠ABF+∠BAF=∠AFD=45°，BC= 2AB，∠ABF+∠BAF=∠AFD=45°．
∴∠CBE=∠BAF，
又∵∠AFB=180°−∠AFD=135°，∠BEC=180°−∠CED=135°，
∴∠BEC=∠AFB，
∴△BEC∽△AFB，
∴CEBF=BCAB= 2，
∴CE= 2BF=2 2，
故CE的长为：2 2．
【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使∠AFD=60°，作AG⊥BD于点G，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，AB=12BC．
即：∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°，
又∵∠ABF+∠BAF=∠AFD=60°，
∴∠BAF=∠CBE，
又∠AFB=180°−∠AFD=120°，∠BEC=180°−∠CED=120°，
∴∠AFB=∠BEC，
∴△AFB∽△BE，
∴ABBC=AFBE=12，∠BCE=∠ABF，
∴AF=12BE，
∵BEDE=85，
∴令BE=8t，则DE=5t，
∴AF=12BE=4t，
又∵∠AFD=60°，FG⊥DF
∴在Rt△AFG中，∠FAG=30°，
∴FG=12AF=2t，
由勾股定理可得：AG= AF2−FG2=2 3t，
又∵∠ABG+∠BAG=180°−∠AGB=90°，∠BAG+∠DAG=∠BAC=90°，
∴∠ABG=∠DAG，
∴△ABG∽△DAG，
∴AGDG=BGAG，
∴AG2=DG⋅BG，
设EF=x，则BG=10t+x，DG=DE−EF−FG=3t−x．
∴(2 3t)2=(10t+x)(3t−x)，
解得：x=2t，
∴BG=12t，
∴tan∠ABG=tan∠BCE=2 3t12t= 36
故∠BCE的正切值为： 36．
【解析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；
【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AB，再推导△BEC∽△AFB，然后利用等腰三角形的性质得到CEBF=BCAB= 2，计算解题；
【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使∠AFD=60°，作AG⊥BD于点G，则可得到△AFB∽△BE，即ABBC=AFBE=12，∠BCE=∠ABF，进而证明△ABG∽△DAG，得到AG2=DG⋅BG，设BE=8t，可以求出BG=12t解题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形外角，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，
∴A(0,6)，B(6,0)，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BAO=45°．
(2)①∵DE//BC，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠ADE=∠ABO=∠APE=45°，∠DEP=∠EPO，∠DAP+∠PAO=45°，
∵∠EAO=∠EPO，∠DAP=∠DEP，
∴∠DEP=∠EPO=∠DAP=∠EAO，
∴∠EAO+∠PAO=45°，
∴∠EAP=45°，
∴∠EAP=∠EPA=45°，∠AEP=90°，
∴AE=PE，∠AEP=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形．
②如图，过点D作DF⊥PB于点F，设DE与y轴的交点为G，
∵A(0,6)，B(6,0)，C(−3,0)，
∴OA=OB=6，OC=3，
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OCOA=36=12，
在Rt△AEG中，tan∠GAE=EGOG=12，
设EG=m，则AG=2m，
∴AE= m2+(2m)2= 5m，
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴AP是圆的直径，AP= AE2+EP2= 2AE= 10m，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
∴∠DPB=∠DBP=45°，
∴DP=DB．
∵DE//BC，∠AOB=90°，
∴∠ADE=∠ABO=∠APE=45°，∠AGD=∠AOB=90°，
∴AG=GD，
∴AD= AG2+GD2= 2AG=2 2m，
∵∠AGD=∠AOB=∠DFO=90°，
∴四边形OFDG是矩形，
∴OF=DG=AG=2m，BF=DF=OB−OF=6−2m，
在Rt△BDF中，sin45°=DFBD= 22，
∴DP=DB= 2(6−2m)，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+PD2，
∴( 10m)2=(2 2m)2+( 2(6−2m))2，
解得m=2，m=6(舍去)，
∴DF=6−2m=2，OF=2m=4，
故点D(4,2)．
(3)AD+ 102AE的值是定值，且为4 2.理由如下：
如图，连接PD，
∵A(0,6)，B(6,0)，C(−3,0)，P(m,0)，
∴OA=OB=6，OC=3，OP=m，PB=6−m，
∴PC=m+3，AC= 32+62=3 5，AB= 62+62=6 2，
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OCOA=36=12,sin∠OAC=OCAC=33 5= 55，
∵∠AOP=90°，
∴AP是圆的直径，
∴∠ADP=∠BDP=90°，∠CAO=∠CPE，
在Rt△PEC中，tan∠EPC=ECEP=12,sin∠EPC=ECEP=EC3+m= 55，
∴EC= 55(3+m),EP=2EC=2 55(3+m)，
∴AE=AC−EC=3 5− 55(3+m)= 55(2−m)，
∵∠ABP=45°，∠BDP=90°，
∴BD=PBsin45°= 22(6−m)，
∴AD=AB−BD=6 2− 22(6−m)=3 2+ 22m，
∴AD+ 102AE=3 2+ 22m+ 102× 55(2−m)=3 2+ 22m+ 2− 22m=4 2，
故AD+ 102AE的值是定值，且为4 2．
【解析】(1)根据一次函数y=−x+6的图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，得到A(0,6)，B(6,0)，继而得到OA=OB，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
(2)①根据平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定证明即可．
②连接DP，过点D作DF⊥PB于点F，设DE与y轴的交点为G，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数计算即可．
(3)先用m表示线段AD，AE，代入AD+ 102AE化简计算即可．
本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．
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