2023年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，国际学术期刊自然地球科学刊发的一篇文章称，中英学者在嫦娥五号月球样品中，测量到撞击玻璃珠中的水，科研团队结合月球全球尺度月壤厚度分析，推测出月壤的储水量最高约吨数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  二次根式中字母的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的次比赛的平均成绩和方差如表所示：

若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  如图，在中，，分别为，的中点，的延长线恰好经过的直角顶点，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国古代数学名著九章算术中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出钱，则多了钱；如果每人出钱，则少了钱问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数为常数，点，是该函数图象上的点，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为，，，的四种不同大小的小正三角形个，其中编号的有个设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  实数的立方根是          ．

12.  分解因式：______．

13.  一个不透明的袋子里装有个红球，个黄球和个白球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为______ ．

14.  年旅游业迎来强势复苏某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图所示的“”型圆弧堤坝若堤坝的宽度忽略不计，图中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为______ 米结果保留
 

15.  如图，以为圆心的半圆的直径，弦，连接，为半圆上一点，，则的长为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，斜边上的中点在轴正半轴上，为的中点反比例函数的图象经过点，，延长交函数在第四象限的图象于点反比例函数的图象经过点，连结若的面积为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
解不等式组：．

18.  本小题分
图，图都是由边长为的小正三角形构成的网格，每个网格图中有个小正三角形已涂上阴影请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取个涂上阴影：

使得个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
使得个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形

19.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．
求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围．

20.  本小题分
某校九年级开展数学项目化学习，有，，，，五个项目可供学生选择学校想要了解本级段学生五个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查根据调查结果，绘制成如图两个统计图部分数据未给出

根据图中信息，解答下列问题：
求抽查的学生人数，并补全条形统计图．
求扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数．
如果本级段共有名学生，请你估计该校选择项目的人数．

21.  本小题分
读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合书法人群和学生使用图是实木读书架实物图，图是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点在上的位置，来改变的倾斜角度已知，，当点调节到图位置时，测得，，．

求点到的距离．
求的长．
参考数据：，，

22.  本小题分
甲开车从地前往地送货，同时，乙从地出发骑车前往地，在，两地之间且距离地千米甲到达地后以相同的速度立马返回地，在地休息半小时后，又以相同的速度前往地送第二批货，乙出发后小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己上下车时间忽略不计，甲载上乙后以原速前进甲、乙两人距离地的路程千米与时间小时之间的函数关系如图所示．
求甲第一次送货前往地时，甲距离地的路程关于的函数表达式．
问在乙距离地多远时，甲载上了乙？
问乙比原计划早到多少时间？

23.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：∽．
【尝试应用】
如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若，，求的长．
【拓展提升】
如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长．
 

24.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连结，．
求证：．
求证：．
如图，弦平分交于点．
若点为的中点，，求的长．
设，，求关于的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左面看，底层是几个矩形，上层是一个等腰三角形，
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲和丙的平均数较小，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛，
由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛．
故选：．
此题有两个要求：平均成绩较低，状态稳定．于是应选平均数较小、方差较小的运动员参赛．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
为的中点，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，．
故选：．
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，是二次函数为常数图象上的点，
，，
，
，
解得，
故选：．
分别求出，，利用，得出关于的不等式，即可求出的范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：设标记为，，，的小正方形的边长分别是、、、，
由题意得：，
，
，
，
只需知道编号是的两个小正三角形的边长，即可求出的值．
故选：．
设标记为，，，的小正方形的边长分别是、、、，表示出和，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由菱形、等边三角形的性质，用、、、表示出和．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．
如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】
解：的立方等于，
的立方根等于．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

13.【答案】 

【解析】解：摸出黄球的概率为．
故答案为：．
根据随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：“”型圆弧堤坝的长为米．
故答案为：．
直接根据弧长公式计算即可．
本题主要考查了弧长的计算公式，正确理解公式是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，当点在上时，连接，，交于点，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：；
如图，当点在上时，连接，，过点作于，
由知：，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：点在上或在上，作辅助线，根据垂径定理的推论和勾股定理分别计算即可得结论．
本题考查的是圆周角定理，勾股定理，三角函数，垂径定理及其推论等知识，掌握垂径定理及其推论是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，
，关于对称，则，
的面积为，
，
点为的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
，，
≌，
，
即，
，，
，
，
故答案为：．

根据三角形中线平分三角形面积，求出三角形和三角形的面积都是，在证明和全等，利用反比例函数的几何意义，表示出和的面积，再利用面积差求出即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形中线平分面积的应用、三角形的全等的应用是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解是． 

【解析】首先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可求解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了完全平方公式，平方差公式和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是关键．
 

18.【答案】解：轴对称图形如图所示答案不唯一；

中心对称图形如图所示答案不唯一．
 

【解析】根据轴对称图形的定义画出图形即可答案不唯一；
根据中心对称图形的定义画出图形即可答案不唯一．
本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，理解题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点，，
函数表达式可设为，
即．
又，
，，
所求二次函数表达式为．
，
其图象的顶点坐标为，
直线与抛物线相交于和，
根据图象可知：的取值范围为或． 

【解析】设函数的交点式为，化为一般式，比较系数求解；
根据数形结合思想求解．
本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得，人，
故抽查的学生人数为人．
样本中“”的人数为：人，
补全条形统计图如下：

，
答：扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数为．
人，
答：估计该校选择项目的大约有人． 

【解析】用“”的人数除以可得样本容量，进而得出“”的人数，再补全条形统计图即可；
用乘“”所占比例即可；
用乘样本中选择项目的人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点．
在中，，
，
答：点到的距离为；
延长交于点，过点作于点，
，，
，
，
，
．
在中，．
在中，，
，
答：的长为． 

【解析】过点作于点，在中，，解直角三角形即可解答；
延长交于点，过点作于点，先证明是等腰三角形，进而求出，在中解直角三角形求出，进而求出的长．
本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，、两地间的路程为千米，
甲第一次到达地用时小时．
甲第一次送货去地的函数图象经过，，
设甲第一次送货去地的函数表达式为，
把，代入解析式得：
，
解得，
关于的函数表达式为；
甲第二次送货的函数图象经过，
甲送货的速度不变，
设甲第二次送货的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
甲第二次送货的函数表达式为，
当时，，
答：在乙距离地时，甲载上了乙；
把代入，
得，
解得，
乙的图象经过点，
设乙的函数表达式为，
把代入，
得，
解得．
乙比原计划早到时间为小时．
答：乙比原计划早到小时． 

【解析】根据题意题意得出甲第一次送货去地的函数图象经过，，然后用待定系数法求出函数解析式；
根据甲送货的速度不变，求出第二次送货的解析式，再把代入解析式求即可；
求出甲第二次到地的时间，和乙按原计划到地的时间作差即可．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
∽．
解：四边形是平行四边形，
，
．
，
，
．
，
∽，
，
设，则，
，
，舍去，
，
；
解：如图，

延长，，交于点．
，
设，，则，
四边形是菱形，
，，，，
∽，
，
即，
．
在中，
为的中点，
．
，
，
，
∽，
，
即，
，舍去，
，
即菱形的边长为． 

【解析】可证得，从而，进一步得出结论；
可证得，从而得出，进而得出∽，从而，设，则，从而得出，从而求得的值，进一步得出结果；
延长，，交于点，可得出∽，从而，进而表示出，可证得∽，从而，进而求得的值，进一步得出结果．
本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

24.【答案】证明：连结．

是的切线，
，
即，
是的直径，
，
即，
，
，
，
；
证明：由得，
，
∽，
，
．
解：连结，．

弦平分，，
，
，
，
即，
，
点为的中点，
，
由得∽，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
；
，，
，
设，则，
，
，
，，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】根据切线的性质及圆周角定理推出，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得解；
根据相似三角形的判定与性质求解即可；
连结，，根据角平分线定义及圆周角定理推出，结合，根据相似三角形的性质推出，，根据勾股定理推出，，，根据圆周角定理推出是等腰直角三角形，则，根据题意推出∽，根据相似三角形的性质即可得解；
由得，设，则，根据勾股定理推出，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识并作出合理的辅助线是解题的关键．