2023年浙江省宁波市海曙区兴宁中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市海曙区兴宁中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在有理数，，，中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  与是同类项的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  太阳与地球之间的最小距离为万千米用科学记数法表示万千米为(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

4.  如图，从左面看如图所示的几何体得到的平面图形是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一个布袋里放着个黑球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别把布袋中的球搅匀后，从中任取个球，则下列事件中属于必然事件的是(    )

A. 个都是黑球 B. 个黑球个白球 C. 个白球个黑球 D. 至少有个黑球

6.  要使有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，中，，是的中点，过点作的垂线，交于，连接，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  九章算术中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走步时，走路慢的人只走步，走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数的图象经过点，，，，若，则下列表达式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，为对角线上一动点，，，若要知道阴影部分的面积，则只需要知道下列哪个条件(    )

A. 的长
B. 的长
C. 矩形的面积
D. 矩形对角线的长

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  若，则        ．

12.  分解因式：        ．

13.  为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：

若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择        ．

14.  如图，的半径为将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心则这条劣弧的弧长为______．

15.  如图，点，在函数的图象上，与函数的图象交于点，轴，，则        ．

16.  如图，在等腰三角形纸片中，，将该纸片翻折，使得点落在边的处，折痕为，，分别在边，上，，若，，则        ，的面积为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．
计算：．

18.  本小题分
如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是，是格点三角形顶点在方格顶点处．
在图中画出一个格点，使得与相似，周长之比为：；
在图中画出一个格点，使得与相似，面积之比为：．
 

19.  本小题分
小华想利用太阳光测量楼的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡坡角为上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是；楼落在地面上的影长，落在斜坡上的影长，请你帮小华求出楼的高．

20.  本小题分
如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且．
求这个二次函数的表达式；
若，求顶点到直线的距离．

21.  本小题分
为减轻学生的学业负担，减负成为了当前呼声最高的声音，学生的休闲娱乐时间得到了有效保障，某校对七年级学生每日的休闲时间进行了调查，分为、、、：；：；：；：四个选项，结果如表．

根据表格回答一下问题：
求学生休闲娱乐时间的中位数在        选项，众数在        选项．
调查显示，当每天休闲娱乐的时间在到小时之间时最有幸福感，则处于幸福感学生的比例是多少？
估算七年级名学生有多少学生处于幸福感？四舍五入

22.  本小题分
甲，乙两车从甲地驶向地，并各自匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲在途中休息了，如图是甲，乙两车行驶的距离与时间的函数图象．
求出        ，        ．
求甲车休息之后的函数关系式．
当乙车到达地时，甲车距地还有多远？

23.  本小题分
【基础巩固】如图，在中，，分别在，上，，求证：．
【尝试应用】如图，在中，，，分别在，，上，四边形为平行四边形，，，，求的长．
【拓展提高】如图，平行四边形的周长为，，分别在，上，四边形为平行四边形，，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，圆为的外接圆，延长线与交于点，，点在上，平分．
如图，求证：∽；
如图，连结，求证：；
如图，连结并延长分别交，于，两点，若，，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
最大的数是，
故选：．
根据正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答．
此题主要考查了有理数大小的比较，求一个数的绝对值，掌握有理数大小的比较方法是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由同类项的定义可知，与是同类项．
故选：．
直接利用同类项的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了同类项，正确把握定义是解题关键．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．
 

3.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左面看，一共有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
 

5.【答案】 

【解析】解：、个都是黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
B、个黑球个白球，是随机事件，故该选项不符合题意；
C、个白球个黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、至少有个黑球，是必然事件，故该选项符合题意；
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是的中点，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
解得，
．
故选：．
由直角三角形斜边上的中线可求，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理求得的长，进而可求解的长．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
故选：．
根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，，即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过点，，，，
对称轴为直线，
，
当时，；当时，，
，
故选：．
根据函数的对称性求得对称轴为直线，然后分两种情况讨论，判断、的大小关系，进一步得出．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，能够判断出、的大小是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
，，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
故选：．
由正方形的性质和矩形的性质可得，，可证，，由面积和差关系可求影部分的面积，即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据，则，再代入计算即可．
本题考查比例的性质，根据已知条件得出是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
先比较平均数得到甲同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到甲同学的状态稳定，于是可决定选甲同学去参赛．
本题主要考查了根据平均数和方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作于点，交于点．

由题意，垂直平分线段，

，
，
是等边三角形，
，
同法可证，
，
的长，
故答案为：
如图，连接，，过点作于点，交于点证明是等边三角形，求出，利用弧长公式求解．
本题考查弧长公式，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，作轴于点，

轴，轴，轴轴，
，
，
，
∽，
，
，
，

，
，
，
∽，
，
，
设，，则，
，，，，，
，
解得：，
，，
∽，∽，
∽，
，
在中，．
故答案为：．
如图，过点作于点，作轴于点，可证得∽，∽，设，，则，可得：，，，，，利用相似三角形性质可得：，，再由∽，可得，运用三角函数定义即可求得答案．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，三角函数定义，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接，过点作于点，如图，

根据折叠的性质可得，，，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：，．
根据折叠的性质可得，，以此可得，因此可判断、、、四点共圆，由圆周角定理可得，，进而得到，，则，由等腰三角形的性质可得，以此可证明∽，由相似三角形的性质可求得，则，，，根据勾股定理求出，再算出的面积即可求解．
本题主要考查四点共圆的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，圆周角定理、勾股定理，正确作出辅助线，通过所给条件推出、、、四点共圆，以此得到是解题关键．
 

17.【答案】解：解不等式，得；
解不等式，得，
所以不等式组的解集为．
：

． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集；
分别根据负整数指数幂的定义，零指数幂的定义，绝对值的性质以及二次根式的性质计算即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键；本题还考查了实数的运算，掌握相关定义与运算法则是解答的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，即为所求作．
 

【解析】根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：作交的延长线于点，作于点，
则，
，，，
，
测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是，，
，
，
解得：，
，
答：楼的高是． 

【解析】根据题意作出合适的辅助线，即可求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．
 

20.【答案】解：将点代入中，
，解得：，
二次函数的表达式为：；
，
二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
点，关于对称轴对称，
，
又，
，，
，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为，
顶点到的距离为． 

【解析】把点代入二次函数的解析式求出即可；
判断出，关于抛物线的对称轴对称，求出点的纵坐标，可得结论；
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

21.【答案】   

【解析】解：学生休闲娱乐时间的中位数在选项，众数在选项．
故答案为：；；
处于幸福感学生的比例是为：；
名，
答：七年级名学生大约有名处于幸福感．
分别根据中位数和众数的定义判断即可；
用每天休闲娱乐的时间在到小时之间的人数除以总人数即可；
用乘的结论解答即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是掌握相关定义以及列出相关算式．
 

22.【答案】   

【解析】解：由题意得：
．
，
．
故：，；
设甲车休息之后的函数关系式，
将和代入得：
，
解得
故甲车休息之后的函数关系式为：；
设乙车行驶的路程与时间的关系为，
将和代入得：
，
解得，
故乙车的解析式为：，
将代入，
得，
将代入，
得，
甲车距地：．
根据“路程时间速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出的值和的值；
知道两点坐标，直接求出解析式即可；
求出乙车到达花费的时间，代入甲可算出甲行驶的距离，再用总路程减去行驶的距离即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
 

23.【答案】证明：，，
∽，
，
；
解：，，
，
四边形为平行四边形，
，，，，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
负值舍去，
，，
；
解：如图，延长，交于点，

四边形是周长为，
，，
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，即可求解；
通过证明∽，可得，通过证明∽，可求的长，即可求解；
由平行四边形的性质可求，通过证明∽，可求，通过证明∽，可求解．
本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连结，

，
，
，
，
平分，
，
∽；
证明：如图，连结，

∽，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
可得：，
，
在中，，
． 

【解析】连结，根据垂径定理及圆周角定理得出，，进而得出，根据角平分线的定义得出，即可判定∽；
连结，由得∽，根据相似三角形的性质推出，结合，推出∽，根据相似三角形的性质及等腰三角形的性质得到，，则，根据平行线的性质即可判定；
作于点，根据题意推出，进而得出，设，根据三角形外角性质及线段垂直平分线性质得出，则，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，进而推出，，根据含角的直角三角形的性质即可得解．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．