2023年浙江省宁波市海曙区兴宁中学中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省宁波市海曙区兴宁中学中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省宁波市海曙区兴宁中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是(    )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列各式中，计算正确的是(    )
A. x3+x2=x5 B. x3⋅x2=x6 C. x3÷x2=x D. (x3)2=x9
3. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为(    )
A. 1.5×105 B. 0.15×105 C. 1.5×106 D. 1.5×107
4. 如图所示的钢块零件的主视图为(    )
A.
B.
C.
D.
5. 为深入实施《全民科学素质行动规划纲要(2022—2035年)》，《山西省全民科学素质行动规划纲要实施方案(2021—2025年)》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
1
4
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是(    )
A. 92.5，95 B. 95，95 C. 92.5，93 D. 92.5，100
6. 如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为(    )

A. 4πcm2 B. 6πcm2 C. 9πcm2 D. 12πcm2
7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE//AC，交AB于E，若AB=5，则线段DE的长为(    )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 72
8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒.试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶.根据题意，可列方程组为(    )
A. x+y=193x+13y=33 B. x+y=19x+3y=33
C. x+y=1913x+3y=33 D. x+y=193x+y=33
9. 点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1 A. m>4 B. m<4 C. m<12 D. m>12
10. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形FGHI.已知AE为Rt△ABE较长直角边，若AE=3FG，则正方形ABCD的面积为(    )
A. 8S
B. 9S
C. 10S
D. 12S
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 请你写出一个小于−2的无理数______ ．
12. 分解因式：a2−6a+9=______．
13. 不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是______．
14. 若定义新的运算符号“*”为a*b=a+1b，则(13*12)*2=______．
15. 已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5.点D在△ABC的一边上，⊙D是以D为圆心，CD为半径，并与△ABC的一边相切，则CD= ______ ．


16. 如图，反比例函数y=6x(x>0)的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE//AF，交直线y=kx(k<0)于点E，F，若OE=OF，BG=32GA，则CDBD的值为______ ；四边形ADEF的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：2a(a+b)−(a+b)2；
(2)解不等式组x−12+3≥02x−5>1．
18. (本小题8.0分)
图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．

(1)在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；(所画图形不全等)
(2)在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
19. (本小题8.0分)
如图，已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y=3k−1x的图象交于点(a,2)．
(1)求a和k的值．
(2)若点P(m,n)在反比例函数图象上，且点P到y轴的距离小于1，请根据图象直接写出n的取值范围．

20. (本小题10.0分)
下面两个统计图反映的是某超市5月份甲、乙两种洗衣粉的销售情况和顾客满意情况．

看图回答以下问题：
(1)从折线统计图看出甲的最大周销售量是______ ，在第______ 周达到；乙的最大周销量是______ ，在第______ 周达到．
(2)从折线统计图看出______ 的销量在整体提升；从条形统计图看出______ 的满意情况不好．
(3)通过观察两个统计图，顾客满意度和洗衣粉的销售量有何关系？
21. (本小题10.0分)
图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力.图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图.已知AC，BD互相平分于点O，AC=BD=24 cm，若∠AOB=60°，∠DCE=28°．

     (1)求CD的长．
(2)求点D到底架CE的高DF.(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)

22. (本小题10.0分)
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23. (本小题12.0分)
点C在AB的延长线上，且∠DAB=∠DBE，

【证明体验】
(1)如图(1)，若∠C=∠A，求证：△DAB∽△BCE；
【思考探究】
(2)如图(2)，若CE//AD，∠C=45°，若AD= 2AB，求CEBC的值；
【拓展延伸】
(3)如图(3)，连接AE，若△DAB∽△DBE，ABAD= 2，若AE=nBD，求n的值．
24. (本小题14.0分)
如图1，在菱形ABCD中，AB=2 5，点P是对角线BD上的动点，⊙O是△PAB的外接圆，tan∠DBC=12，设⊙O的半径为r，BP=x．

(1)如图2，当PA=PB时，求证：BC是⊙O切线；
(2)延长AP交射线BC于点Q．

①如图3，若BP为⊙O直径，求CQ的长；
②如图4，若点O、A、D三点共线，求APPQ的值；
(3)当0 答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】C 
【解析】解：A、x3与x2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x3⋅x2=x5，故B不符合题意；
C、x3÷x2=x，故C符合题意；
D、(x3)2=x6，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】C 
【解析】解：150万=1500000=1.5×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】A 
【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

5.【答案】A 
【解析】解：∵中位数是第5个，第6个数据的平均数即95+902=92.5，
∵95出现的次数最多，4次，
∴众数为95．
故选：A．
根据众数，中位数的定义计算选择即可．
本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数的平均数)叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的计算，弧长公式，解的关键是熟练运用圆锥的计算公式，本题属于基础题型．根据弧长公式计算出AB的长，求出圆锥底面半径，利用圆面积公式计算即可．
【解答】
解：由弧长公式可知：AB=120π×6180=4π(cm)
∴底面圆的周长为4π cm，
设底面圆的半径为CD=r cm，
∴4π=2πr
∴r=2cm，
∴圆锥的底面积为π×22=4π(cm2)，
故选A．
  
7.【答案】B 
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=12AB=2.5，
故选：B．
求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．

8.【答案】A 
【解析】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
3x+13y=33
综上：x+y=193x+13y=33，
故选：A．
根据题意，列方程求解即可．
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．

9.【答案】D 
【解析】解：∵点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=x2的图象上，
∴y1=(m−1)2，
y2=m2，
∵y1 ∴(m−1)2 ∴(m−1)2−m2<0，
即−2m+1<0，
∴m>12，
故选：D．
根据y1 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．

10.【答案】C 
【解析】解：设AE=2a.BE=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2，
由题意可知FG=(2a−b)−2(a−b)=2a−b−2a+2b=b，
∵AE=3FG，
∴2a=3b，
∴a=32b，
∵正方形FJHI的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=4×(32b)2+b2=9b2+b2=10S，
故选：C．
设AE=2a.BE=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知FG=(2a−b)−2(a−b)=2a−b−2a+2b=b，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

11.【答案】−2π 
【解析】解：请你写出一个小于−2的无理数−2π，
故答案为：−2π．
根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，根据无理数小于−2，可得答案．
本题考查了估算无理数，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

12.【答案】(a−3)2 
【解析】解：原式=(a−3)2．
故答案为：(a−3)2．
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

13.【答案】13 
【解析】解：∵袋子中共有4+2=6个除颜色外其它都相同的球，其中红球有2个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是26=13，
故答案为：13．
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

14.【答案】116 
【解析】解：13*12=13+112
=4312
=83，
∴(13*12)*2
=83*2
=83+12
=1132
=116，
故答案为：116．
先计算出13*12=83，再计算(13*12)*2=83*2即可．
本题主要考查有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则．

15.【答案】209或2 
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，
∴AC= BC2−AB2=4．
①点D在BC边上时，⊙D不可能与AC，BC相切，
设⊙D与AB相切于点E，连接DE，如图，
则DE⊥AB，DE=DC，
∵CA⊥AB，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BDBC=DEAC，
设DC=DE=x，
∴5−x5=x4，
∴x=209．
∴CD=209．
②点D在AC边上时，⊙D不可能与AC，BC相切，
∴当点D为AC的中点时，⊙D与AB相切，
∴DC=12AC=2．
③点D在AB边上时，⊙D不可能与AC，BC，AB相切，此种情形不存在，
综上，点D在△ABC的一边上，⊙D是以D为圆心，CD为半径，并与△ABC的一边相切，则CD=209或2．
故答案为：209或2．
利用勾股定理求得AC的长，再利用分类讨论的方法，利用圆的切线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．

16.【答案】23  15 
【解析】解：延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，

设G(a,6a)，则OA=a，AG=6a，
∵BG=32GA，
∴BG=9a，
∴DH=AB=AG+BG=15a，
yD=15a时，xD=6a15，
∴CD=6a15，BD=BC−CD=a−6a15=9a15．
∴CDDB=6a9a=23．
∵DE//AF，
∴∠EKO=∠FAO，
在△OEK和△OFA中，
∠EKO=∠FAO∠EOK=∠FOAOE=OF，
∴△OEK≌△OFA(AAS)，
∴OK=OA=a，
∴AK=2a，
∴S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK=12AK⋅DH=12×2a×15a=15．
故答案为：23，15．
延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，证得△OEK≌△OFA，即可证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK，设G(a,6a)，用a表示CD和DB可得比值，根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，矩形的性质，三角形面积公式，证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK是解题的关键．

17.【答案】解：(1)2a(a+b)−(a+b)2
=(2a2+2ab)−(a2+2ab+b2)
=2a2+2ab−a2−2ab−b2
=a2−b2；
(2)x−12+3≥0①2x−5>1②，
解不等式①，得x≥−5，
解不等式①，得x>3，
∴该不等式组的解集是x>3． 
【解析】(1)运用单项式乘多项式和完全平方公式进行求解；
(2)先分别求解两个不等式，再求得该不等式组的解集．
此题考查了运用完全平方公式进行整式混合运算和解不等式组的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．

18.【答案】解：(1)如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；

(2)如图③所示，▱ABFE即为所求． 
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，垂直平分线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点；以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，弧线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点．
(2)将点A沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B也按相同的方法平移，最后连结点A、B及点B、A的对应点即可．
本题主要考查作图−应用与设计作图，熟练掌握等腰三角形的定义和平行四边形的判定是解题的关键．

19.【答案】解：(1)把(a,2)代入y=2x得2a=2，解得a=1，
把(1,2)代入y=3k−1x得3k−1=2，解得k=1；
(2)反比例函数的解析式为y=2x，
当x=1时，y=2x=2；当x=−1时，y=2x=−2，
所以当点P到y轴的距离小于1，n的取值范围为n<−2或n>2． 
【解析】(1)先把(a,2)代入y=2x中可求出a=1，然后把(1,2)代入y=3k−1x得3k−1=2，解方程得到k的值；
(2)分别计算出自变量为1和−1对应的函数值，然后结合函数图象写出n的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

20.【答案】120袋  四  102袋  二  甲  乙 
【解析】解：(1)从折线统计图看出甲的最大周销售量是120袋，在第四周达到；
乙的最大周销量是102袋，在第二周达到；
故答案为：120袋，四，102袋，二；
(2)从折线统计图看出甲的销量在整体提升；
从条形统计图看出乙的满意情况不好；
故答案为：甲，乙；
(3)通过观察两个统计图，顾客满意度高，洗衣粉的销售量就会上升，
顾客满意度低，洗衣粉的销售量就会降低．
(1)根据折线统计图的数据即可解答；
(2)根据折线统计图和条形统计图即可解答；
(3)通过观察两个统计图即可解答．
本题考查了折线统计图、条形统计图，解决本题的关键是利用折线统计图、条形统计图解决实际问题．

21.【答案】解：(1)∵AC=BD=24cm，AC，BD互相平分于点O，
∴OA=OB=OC=OD=12cm，
∵∠COD=∠AOB=60°，
∴△AOB与△COD均是正三角形，
∴CD=12cm；
(2)在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD，
即DF=CD⋅sin∠DCF=12×sin28°≈12×0.47=5.64≈5.6(cm)，
答：点D到底架CE的高为5.6cm． 
【解析】(1)根据题意得出OA=OB=OC=OD=12cm，由∠COD=∠AOB=60°，证明△AOB与△COD均是正三角形，即可得出答案；
(2)在Rt△CDF中，利用正弦定义求解即可．
本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．

22.【答案】解：(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系式为：y=kx+b，
由题意可知：9k+b=10511k+b=95，
解得：k=−5b=150，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−5x+150；
(2)w=y(x−8)
=(−5x+150)(x−8)
=−5x2+190x−1200
=−5(x−19)2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
∴当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为−5×(15−19)2+605=525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式．
(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

23.【答案】(1)证明：∵∠DAB=∠DBE，∠CBD=∠CBE+∠DBE=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=∠CBE，
又∵∠C=∠A，
∴△DAB∽△BCE；
(2)解：如图(2)，过点E作EF⊥EC交AC于点F，

∵∠C=45°，
∴∠BFE=90°+45°=135°，∠CFE=45°，
∴∠C=∠CFE，
∴CE=EF，CF= CE2+EF2= 2EF，
∵CE//AD，
∴∠A=180°−45°=135°，
∴∠A=∠BFE，
由(1)得△DAB∽△BCE；
∴BFEF=ADAB= 2，
设CE=EF=a，则BF= 2a，CF= 2a，
∴BC=BF+CF=2 2a，
∴CEBC=a2 2a= 24；
(3)解：如图(3)，延长AB到F，连接EF，使∠F=∠DAB，

∵△DAB∽△DBE，
∴∠DAB∽∠DBE，
∵∠DBF=∠ADB+∠DAB=∠DBE+∠EBF，
∴∠EBF=∠BDA，
又∵∠DAB=∠BFE，
∴△DAB∽△BFE，
∴ADBF=BDBE=ABEF，
∵△DAB∽△DBE，
∴BDBE=ADAB= 22，
∴ADBF=ABEF= 22，
设AD=m，则AB= 2m，BF= 2m，EF=2m，
∴AF=AB+BF=2 2m，
∴EFAD=AFAB=2，
又∵∠F=∠DAB，
∴△DAB∽△EFA，
∴AE=2BD，
即n=2． 
【解析】(1)根据三角形外角的性质得到∠ADB=∠CBE，根据已知条件即可判定相似；
(2)过点E作EF⊥EC交AC于点F，由(1)得△DAB∽△BCE，从而推出BFEF=ADAB= 2，设CE=EF=a，则BF= 2a，CF= 2a，BC=BF+CF=2 2a，即可求出结果；
(3)延长AB到F，使∠F=∠DAB，连接EF，同理得△DAB∽△BFE，根据相似三角形的性质求出对应边的比即可求出n的值．
本题是相似综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，构造一线三等角基本模型是解决问题的关键．

24.【答案】r=12 5x2−40x+100 
【解析】(1)证明：作⊙O的直径BE，连接PE，

∵BE为⊙O的直径，
∴∠EPB=90°，
∴∠E+∠EBP=90°，
又∵PA=PB，
∴PA=PB，
∴∠BAP=∠ABP=∠E，
∴∠ABP+∠EBP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠CBP+∠EBP=90°，
即：∠EBC=90°，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线．
(2)解：①连接PC，

∵BP为⊙O的直径，
∴∠PAB=∠PCB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，AB=BC=2 5，
∴∠DBC=∠DAB，
在Rt△PBC中，tan∠DBC=PCBC=12，
即：PC2 5=12，
∴PC= 5，
∵∠DBC=∠DAB，∠PAB=∠PCB=90°，
∴PA=PC= 5，
∵∠QCP=∠QAB=90°，∠PQC=∠BQA，
∴△QPC∽△QBA，
∴PQBQ=CQAQ=PCAB= 52 5，
∴BQ=2PQ，AQ=2CQ，
∵BQ=BC+CQ=2 5+CQ，AQ=AP+PQ= 5+PQ，
∴2 5+CQ=2PQ， 5+PQ=2CQ，
由 5+PQ=2CQ得：PQ=2CQ− 5，
将PQ=2CQ− 5代入2 5+CQ=2PQ，得：CQ=4 53．
②延长AO与⊙O交于点G，连接GP，AC，AC与BD交于H，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=2 5，AC⊥BD，且AH=CH，BH=DH，AD//BC，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵ABD=∠G，
∴∠G=∠ADB，
∴PG=PD，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=∠G，
∵tan∠DBC=12，
∴tan∠ADB=tan∠E=12，
在Rt△APG中，tan∠E=APPG=12，
即：PG=2AP，
设AP=a，则PG=PD=2a，
在Rt△ADH中，tan∠ADB=AHHD=12，
即：HD=2AH，
由勾股定理得：HD2+AH2=AD2，
∴((2AH)2+AH2=(2 5)2,
∴AH=2，
∴HD=4，
∴PH=PD−HD=2a−4，
在Rt△APH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH2，
即：a2=22+(2a−4)2，
解得：a1=103，a2=2(不合题意，舍去)，
∴PD=2a=203，
又∵BD=2HD=8，
∴BP=BD−PD=8−203=43，
∵AD//BC，
∴△ADP∽△QBP，
∴APPQ=PDBP=20343=5．
(3)解：r=12 5x2−40x+100.理由如下：
作⊙O的直径PM，连接AM，连接AC交BD于点H，

由(2)可知：AH=2，BH=4，
∵BP=x，
∴PH=BH−BP=4−x，
在Rt△APH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH2=(4−x)2+22=x2−8x+20，
∵PM为⊙O直径，
∴PM=2r，∠MAP=90°，
∵∠M=∠ABD=∠DBC，
∴tan∠M=12，
在Rt△AMP中，tan∠M=APAM=12，
∴AM=2AP，
在Rt△AMP中，由勾股定理得：AP2+AM2=PM2，
即：AP2+(2AP)2=(2r)2，
∴5AP2=4r2，
∴4r2=5(x2−8x+20)=5x2−40x+100，
∴r=12 5x2−40x+100．
故答案为：r=12 5x2−40x+100．
(1)连接BO并延长交⊙O于点E，连接PE，由此得∠E+∠EBP=90°，然后根据PA=PB以及菱形的性质可证：∠BAP=∠ABP=∠E=∠CBP，据此可得∠EBC=90°，进而利用切线的判定可得出结论；
(2)①连接PC，根据已知条件tan∠DBC=12可求出PA=PC= 5，进而根据△QPC和△QBA相似，然后列出比例式即可求出CQ的长；
②延长AO与⊙O交于点G，连接GP，AC，AC与BD交于H，先证明PG=PD，再证PG=2AP，根据已知条件tan∠DBC=12分别求出AH=2，DH=4，可设AP=a，则PG=PD=2a，PH=2a−4，然后在Rt△APH中，由勾股定理求出a，进而求出BP的长和DP的长，最后根据△ADP和△QBP相似可得出答案；
(3)作⊙O的直径PM，连接AM，连接AC交BD于点H，由BP=x，则PH=4−x，在Rt△APH中，由勾股定理求出AP，再由∠M=∠ABD=∠DBC得tan∠M=12，进而得AM=2AP，最后在Rt△AMP中，由勾股定理可得出r与x的函数关系式．
此题主要考查了圆周角的性质，切线的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数、勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握切线的判定，直径所对的圆周角是直角．构造圆的直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，并利用三角函数的定义找出相关线段的关系是解答此题的难点．