人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计

7.2.1 复数加减法及其几何意义

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)

一、教学目标

1.掌握复数加、减法的运算法则及其运算律.

2.掌握复数加、减法运算的几何意义.

3.发展学生逻辑推理、数学运算、数学建模数学学科素养

二、教学重难点

1.复数加、减法的运算法则及其运算律

2.复数加、减法运算的几何意义

三、教学过程

1.复数的加法运算

1.1情境导入，引发思考

问题1：你是否学习过某些复数的加减运算？能否用复数形式表达?若能，从复数的概念角度如何解释？

【预设答案】

或者类似的回答.

【设计意图】从已知到未知符合学生的认知规律.数域的扩充需满足不改变原数域的结构和基本性质，包括运算性质，可通过观察比较熟悉的实数运算所对应的复数代数形式的运算，以观察其结构.

问题2：复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明

【预设答案】纯虚数2i与3i的和是多少呢?  即=0+2i ，=0+3i， 猜想+=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i ．

1.2 归纳整理，学习规则

教师教授：我们规定，复数的加法法则如下：

设是任意两个复数，那么它们的和

点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定．当时与实数加法法则保持一致．

（2）两个复数的和仍然是一个复数．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．

【活动预设】通过老师的讲授感知复数加法的法则及其定义的合理性.

【设计意图】在这里，运算法则是一种定义，教师的完整详细的介绍有助于丰富学生对规则的认识.

1.3 推演复数加法运算律

问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？

【活动预设】

教师引导学生尝试写出复数所满足的交换律与结合律，即：

对任意的，有，

要求学生对其进行证明，并对证明给出合理的评价.

【设计意图】规则的建立需要一个认同的过程，只有经过严密的推理记忆才能更加长久.

1.4  类比推理，学习减法法则

问题4：类比复数的加法法则,你认为复数有减法吗?复数的减法法则如何呢？

【活动预设】

学生可根据实数中加法是减法的逆运算，尝试给出复数减法的运算法则.

教师讲授：我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作.

根据复数相等的定义可知.

点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。

小结：两个复数复数的加、减法，类似与两个多项式的加、减.

【设计意图】通过类比实数的减法运算，推演复数减法的运算法则，通过与多项式类比，加强对复数加、减法运算法则的理解与记忆，发展学生的逻辑推理等数学素养。

1.5  典型例题  运用法则

请同学根据刚给出的复数加、减法的运算和运算律完成例1.

例1、计算

【活动预设】根据复数加、减法的运算法则，可得

原式=.

【设计意图】

运用法则解决简单的复数的加、减运算问题，可以检验学生对法则的掌握程度，培养学生从特殊到一般的推理能力，发展逻辑推理数学素养.

2.复数加、减法的几何意义

2.1 复数加法的几何意义

问题5：复数加法运算有什么几何意义呢？

【活动预设】

我们知道复数中的点与以原点为起点的向量一一对应，你能几何向量的加法讨论复数加法的几何意义吗？

设分别与复数对应，则，，由向量加法的平行四边形法则，得.

这说明与复数对应，即复数的加法可以按照对应向量的加法进行，这就是复数加法的几何意义

【设计意图】

从数与形两个角度理解复数的加法.多角度认知一个事物会让认知更加立体、丰富.此设计为学生处理复数加法提供了更多的方法与手段，发展了学生的直观想象数学素养.

2.2 复数减法的几何意义

问题6：你能类比复数加法运算的几何意义，得到复数减法的几何意义吗？

【活动预设】

设分别与复数对应，则，，.

这说明与复数对应，即复数的加法可以按照对应向量的减法法进行，这就是复数减法的几何意义.

【设计意图】

 通过类比复数加法的几何意义，得到复数减法的几何意义，体会类比在获取新知中的应用，发展学生的逻辑推理素养.

2.3 复数加、减法的几何意义的应用

【活动预设】例2.根据复数及其运算的几何意义求复平面内的两点，之间的距离

解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点之间的距离为

=

【设计意图】

（1）利用复数减法的几何意义解决问题，加深理解；

（2）从这个例题中推导复平面内两点的距离公式.

【活动预设】例3.利用复数减法的几何意义，思考在复平面内所有满足的组成的图形是什么？

解：满足，则复平面中与对应的点到点的距离为1.

所有这样的组成的图形为以为圆心，1为半径的圆.

【设计意图】

在解题中加深对复数加减运算的理解，形成解题的基本思路：复数与点、向量之间一一对应，利用其几何意义思考问题的解，再反馈给原问题。

3.归纳小结，沉淀成长

思考：本节课我们学习了复数的加、减法及其几何意义，它们分别是什么呢？

【设计意图】

梳理本节课对于复数加、减法运算及其几何意义的认知.

四、课外作业

   1.教材第77页练习题1-4.

   2.根据今日所学，命制一道能利用复数加、减法运算及其几何意义的题目，并给出答案.