高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计及反思

教学内容

8.4.1 平面

教

学

目

标

四基：1.初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述桑基本事实和推论。

四能：会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论内容；利用三个基本事实说明平面的“平”“无限延展”的基本特征；能够利用三个基本事实和的推论作图、证明简单问题。培养学生的空间想象能力。

数学核心素养：在研究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养。

教

材

分

析

地位：本节研究的三个基本事实和推论，是立体几何的理论基础。

重点： 对平面的三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示。

难点：对平面的三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示。

学情分析

初中学习过投影是化立体图形直观图的学习基础。

教法模式

 以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。

媒体运用

多媒体展台，实物模型

备注

教  学  过  程

知              识

师生活动

设计意图

一、课前小测（检测上节课所学的内容）

1.一个正方体的表面积为24， 若一个球内切于该正方体，则此球的体积是               ；

2.已知圆锥的高为3，底半径为4，若球O的表面积与次圆锥侧面积相等，则该球的体积为          

3.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积

为     

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°,则该球的体积为       

5.已知三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为       

；；；32；

二、进行新课

（一）情景设置，引入新课

前面学习了基本几何体，学习了他妈的结构特征、平面表示、面积和体积的计算。在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道顶点、棱、平面多边形等是构成这些多面体的基本元素。这些元素之间的互相关系，反映了这些多面体的结构特征。实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的机构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素的开始。

（二）数学本质，深入理解

问题1：对于点和直线，我们在平面几何已经有所了解。那么什么是点？什么是直线？进一步你知道什么是平面吗？

问题2：点有什么特征？直线呢？类似的，平面有什么特征？

几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的，平面是“平”是向四周“无限延展”的。

问题3：学习了数学概念，接下来就是学习它的表示，想一想我们是怎么用图形和符号表示点和直线的？类似的，如何用图形和符号表示平面？

    我们可以画出平面的一部分来表示平面，即四边形表示平面，常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,表示为平面ABCD，平面AC或平面BD

问题4：接下来我们研究平面的基本性质。要研究平面，首先研究确定平面。我们直达两点确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？

问题5：结合教材125也的实例，观察自行车用一个脚架和两个车轮着地是否可 “站稳”？三脚架和三脚着地可以支撑照相机等，将教室的门的两个铰链看出两个点，们插销看成一个点，当插销插上时。门不再动了。有这些事实和实验可以得到基本事实1.

基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

说明：（1）“有且只有”的含义：“有”是指过不在一条直线上的三个点存在一个平面。强调的是存在性；“只有一个”是指过不在一条直线的三个点存在唯一一个平面，强调的是唯一性。

（2）基本事实1给出了确定一个平面的依据：可以简单说成“不共线的三个点，确定一个平面”

（3符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

问题6：如何将基本事实1用图形表示？如何用符号表示点和平面的位置关系？

如图，不在一条直线上的三个点A,B,C确定一个平面，可以记成“平面ABC”．

进而可以用集合语言表示点与直线、平面位置关系的符号表示：直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．

点A在直线l上，

点B在直线l外，

点A在平面α内，记作

点P在平面α外，记作

问题7：基本事实1刻画了点与平面的位置关系，我们接下来研究直线与平面的位置关系。如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内，如果直线l与平面α有两个公共点呢？

实验一、问题8：学生操作：如果一根直尺的一个点在桌面上，这根尺子在桌面上吗？如果任意两个点呢？将尺子抽象一条直线，桌面抽象为一个平面，你能将刚才的经验和事实抽象为直线和平面的位置关系？你能归纳为一句话来表达吗？

基本事实2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

说明：（1）如果直线上所有的点都在平面α内，就说直线在平面内，记作；否则就说直线不在平面内，记作

（2）直线在平面内的充要条件：若直线上所有点在平面内，则直线在平面内。

（3）符号语言：

问题9：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征。而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种关系，利用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的这两个特征？

问题10：基本事实1、2分别从点与平面、直线与平面关系的角度对平面进行了刻画，接下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画。思考下列问题：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否相交于一点B？为什么？

基本事实3   如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

说明：（1）符号语言：

（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么必有另一个公共点，这两点确定的直线即为这两个平面的公共直线既是交线。

（3）如果两个不重合平面有n（n≥2）个公共点，那么这n个点共线，其直线为两个平面的公共直线。

（4）如果点P是两个不重合平面的公共点，则p点在两个平面的公共直线。

（5）两个相交平面的画法：

（三）应用知识，得出推论

问题11：基本事实1给出了确定一个平面的方法，利用基本事实1和2，再结合“两点确定一条直线”，你能得到一些确定一个平面的方法吗？

推论1  经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2  经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3  经过两条平行直线,有且只有一个平面。

（四）应用知识，体会过程

例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。

解析：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系

解：左边的图中，

α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。

右边的图中，

α∩β＝l，aα，bβ，

a∩l=P，b∩l=P。

    点评：结合元素与集合间的关系表示点线面间的关系

变式1：用符号表示下列语句

（1）      点A在平面α内，点B在平面α外     (A∈α, Bα)

（2） 直线l经过平面α外的一点M     ( Mα, M∈l)

例2 在正方体-中，

（1）与是否在同一平面内？

（2）点是否在同一平面内？

（3）画出平面与平面的交线，

平面与平面的交线.

变式：例2中， C与面相交于点M，求证：三点共线.

分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.

例3不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？

解析：结合实物做出解答

解：不共面的四点可以确定4个平面（如三棱锥）

共点的三条直线可以确定1个或3个平面

点评：发展学生思维

变式2：判断正误

1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（√）

2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（√）

（五）巩固训练

练习

1.   判断下列命题是否正确

（1）书桌是平面

（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点

（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

2.下列命题正确的是

（A）三点确定一个平面

（B）一条直线和一个点确定一个平面

（C）圆心和园上的两点可以确定一个平面

（D）梯形可以确定一个平面

3.不共面的四个点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论

4.用符号表示下列语句，并画出图形

（1）点A在平面α内，点B在平面α外

（2）直线a经过平面α外一点M

（3）直线a即在平面α内，又在平面β内

（六）能力提升

1. 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.

2．求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.

已知：直线两两相交，交点分别为，

求证：直线共面.

学生独立完成，而后教师组织评价

教师引导回顾学习的内容，引入新课

教师组织，学生回顾且回答

教师组织，学生回顾且回答

教师引导，学生思考，代表交流

教师引导，学生分析且口述

教师引导，学生参与完成

教师指导，学生理解体会并记忆

教师设计问题，学生思考，讨论

学生操作，教师组织，学生讨论

教师启发，学生口述过程

教师引导，学生口述

利用信息技术工具，做出图8.4-5，动态观察“直线网”

教师组织实验，学生思考

教师组织，学生独立或讨论完成

引领学生，深刻理解基本事实3，

教师布置，学生思考完成

考查上节课内容的掌握情况

引入内容

类比点和直线的概念，引出平面的概念。引出平面的基本特征

类比点和直线的图形和符号表示，引出平面的图形和符号表示。

类比确定直线的问题提出平面的确定性的问题。得到基本事实1

指出基本事实1的两个特征“存在性”和“唯一性”

说明用集合语言表述点与直线、平面的位置关系

准备讨论直线与平面的位置关系

学生实验，抽象出基本事实2

强调基本事实2的内涵

体会由直线的特征，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程，想象平面的特征以及直线与平面的关系

得出基本实事3

对基本事实3加以内涵挖掘，

相交平面的画法指导

得出三个推理，

巩固知识，

教  学  过  程

知              识

师生活动

设计意图

三、归纳小结，反思提升

教师与学生一起回顾本节课所学的内容，回答

1.本节课我们学习了什么知识？这些知识与你的生活与什么联系？

2. 平面基本性质即三条基本事实的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

3.三个基本事实与三个推论有什么作用？

4.回顾如何得到三个基本事实的过程，从而体会研究组成几何图形基本元素的方法。

四、课下作业

1.整理笔记

2.课后作业  教材119页  习题8.3  5，6

 板

书

设

计

8.4.1   平面

基本事实1                               例1：

基本事实2：                             例2：

基本事实3

推论1：

推论2：

推论3：

课后

反思