专题21.20 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题21.20 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】一元二次方程有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次 方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
【知识点2】一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
　 法，再考虑用公式法．
【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点说明：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【知识点3】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　 　 一是整体地、系统地审题；
　 　二是把握问题中的等量关系；
　 　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点说明：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

【考点一】一元二次方程➽➼➻有关概念
【例1】已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
【答案】6
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得 ，再结合化简后的式子整体代入求解即可．
解：

，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键．
【举一反三】
【变式1】已知．
（1）化简；
（2）若是一元二次方程的解，求的值．
【答案】(1)；(2)13
【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可；
（2）由题意知，即，根据，计算求解即可
（1）解：

，
∴；
（2）解：∵是一元二次方程的解，
∴，即，
∴；
∴的值为13．
【点拨】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，
【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据是方程的根得到，整体代入进行计算即可得到答案．
解：




，
是方程的根，
，
，
原式


．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键．
【考点二】一元二次方程的解法
【例2】解方程：
（1） (2)
【答案】(1) ，； (2) 无实数根
【分析】（1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用公式法计算即可．
（1）解： （2）解：∵，
， ∴
，； 原方程无实数根
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】解一元二次方程：
(1) (2)
【答案】(1)，；(2)，
【分析】（1）由配方法解方程即可得出答案；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
（1）解：， （2），
， ，
， ，
， ，
． ∴或 ，
∴，； ∴，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式2】解方程
(1) (2)
【答案】(1) ，； (2) ，
【分析】（1）移项，利用平方差公式分解因式求解可得； （2）用公式法进行求解可得．
（1）解：∵， （2）解：
∴， ∵，
即， ∴，
则或， ∴，．
解得，；
【点拨】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
【例3】解方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
【举一反三】
【变式1】解方程：
【答案】
【分析】先移项将原方程进行变形，再等式两边平方得到，然后整理解一元二次方程即可解答．
解：移项：，
两边平方：，
整理得：，解得：．
经检验：是原方程的根，是增根，舍去．
所以，原方程的根是．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键．
【变式2】解下列方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，代入最简公分母检验即可得．
（1）解： （2）两边同时乘以得：
∵，，， ，
∴． ，
∴． ．
∴． 检验：当时，．
∴为原方程的解．
【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程，解题的关键是掌握解方程的方法，正确求解．
【考点三】一元二次方程根的判别式
【例4】已知关于x的方程有实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当时，求方程的根．
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）根据判别式不小于零，解不等式即可； （2）将m的值代入，求解方程即可．
（1）解：（1）∵关于x的方程有实数根，
∴．解得．
（2）解：（2）当时，原方程为．
即，∴，，
∴方程的根为0，2；
【点拨】本题考查了一元二次方程的跟的判别式，一元二次方程的解法，是考试中常考的考点.
【举一反三】
【变式】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围； (2) 当时，用配方法解方程．
【答案】(1)且；(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
【例5】已知关于的一元二次方程.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是，求方程的另一个根．
【答案】(1)见分析；(2)方程另一个根为
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）将1代入方程可得方程为，解方程即可求出另一个根；
解：（1）∵，                      
∴
，
，                    
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵1是一元二次方程的一个根，
∴，
∴  ，                          
∴，
∴
∴，  ，                        
∴方程另一个根为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，解答本题的关键是能够熟记根判别式，熟练解答一元二次方程．
【举一反三】
【变式】已知关于的一元二次方程．（m为实数）
（1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、（），若，求正数m的值．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出，的值，再根据完全平方公式的变形求解即可．
解：（1）∵
∴
∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根为、
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴解得或（舍去）．
【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：，．
【考点四】一元二次方程根与系数关系
【例6】关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
【答案】(1) ； (2) 14
【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式可得出，解之即可得出结论；
（2）根据题意，设的两条直角边分别为，由根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根是对应的直角边长，均为正值，可确定的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，

，解得：；
（2）解：设的两条直角边分别为，
，是方程的两个实数根，
，，
，即，解得或，
由于是直角三角形的两条直角边，从而有，即，
，
这个三角形的周长为．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出．
【举一反三】
【变式1】已知关于的一元二次方程．
（1）求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；
（2）设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
【答案】(1)证明见详解；(2)
【分析】（1）根据题意证明，即可证明方程一定有两个实数根；
（2）根据，，把变形为：，即可．
解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
【变式2】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．
（1）求月增长率r；
（2）经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)；(2)50
【分析】（1）根据5月份销售量3月份销售量建立方程，解方程即可得；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，从而可得月销售量，再根据利润（实际售价 进价）月销售量建立方程，解方程即可得．
（1）解：由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为 （个），
由题意得：，
解得或，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【考点五】一元二次方程根的应用
【例7】2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1) 求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率．
(2) 从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设4月份到6月份的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，可列方程，求解即可；
（2）设该款吉祥物降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程求解即可．
（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
则
解得，（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该款吉祥物降价元．
则
解得，（舍去）
∴元，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元．
(1) 连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2) 若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为；(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：设每次下降百分率为，
根据题意，得，
解得：， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得：或，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，
∴，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式2】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长x米．  
(1) 写出的长（用含x的代数式表示）．
(2) 若饲养场的面积为平方米，求x的值．

【答案】(1) 米； (2) 米
【分析】（1）用（总长个1米的门的宽度）即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可．
（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
即长度为米；
（2）解：由题意知，，
解得，，
又∵，且，
∴，
∴（米）．
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【例8】如图，有一农户用24m长的篱笆围成一面靠墙（墙长12m），大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍．
(1) 鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由；
(2) 鸡舍的面积能够达到吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．

【答案】(1)能，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为；(2)不能，理由见分析
【分析】（1）设垂直于墙的一边长，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）设垂直于墙的一边长，由题意可得：，解方程即可得到答案．
（1）解：能，理由如下：
设垂直于墙的一边长，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
当时，（不符合题意，舍去），
当时，，符合题意，
，
垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为，
（2）解：不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长，
由题意可得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
不能．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，某市规划在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，m，m，m，m．请问，四边形人工湖的面积能否为，若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．

【答案】能，的长为m或m
【分析】设，分别求出，，，，的长度，用表示四边形人工湖的面积，利用一元二次方程的判别式可求解．
解：能，理由如下：
如图，延长，于，


四边形是矩形，
，，
，，
，，
设，则，
，，
，，，
，，
若四边形人工湖的面积为，
，
整理得：，
解得：，，
故：能，的长为m或m．
【点拨】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，利用参数表示四边形的面积是解题的关键．