高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用习题，共11页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


向量在物理中的应用举例练习
一、单选题
1. 一条河的宽度为d，一只船从A处出发到河正对岸的B处，船速为v1，水速为v2，则船实际行驶速度的大小为  (    )
A. (v1−v2)2 B. |v1|2−|v2|2 C. (v1−v2)2 D. |v1|2−|v2|2
2. 当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为(    )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP=OA+12(AB+AC)，则|AP|等于(     )
A. 2 B. 1 C. 12 D. 4
4. 质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4,−3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(−10,10)，则5秒后点P的坐标为(    )
A. (−2,4) B. (−30,25) C. (10,−5) D. (5,−10)
5. 已知向量a，b不共线，在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=−4a−b，CD=−5a−3b，则四边形ABCD的形状是  (    )
A. 长方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形
6. 一只鹰正沿与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，若鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度大小为(    )
A. 803 m/s B. 4033m/s C. 8033 m/s D. 403m/s
7. 一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为  (    )
A. 6 N B. 2 N C. 25 N D. 27 N
8. 已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=2，DC=1，AB // DC，则当AC⊥BC时，AD=(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知作用在点A的三个力f1=(3,4)，f2=(2,−5)，f3=(3,1)，且A(1,1)，则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为(    )
A. (9,1) B. (1,9) C. (9,0) D. (0,9)
10. 一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(      )
A. v1v2 C. v1≤v2 D. v1≥v2
11. 在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB=1，AD=DC=2，则AC⋅BD=(    )
A. 2 B. −2 C. 3 D. 6
12. 一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为(    )
A. 23km/h B. 2km/h C. 3km/h D. 3km/h
13. 在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以103km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为(  )
A. 北偏西30°，20km/h B. 北偏西60°，20km/h
C. 北偏东30°，20km/h D. 北偏东60°，20km/h
二、单空题
14. 飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是_________km/h．
15. 某物体做斜抛运动，初速度v0的大小|v0|=10m/s，与水平方向成60°，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是_______m/s．
16. 河水流速的大小为2 m/s，一艘快艇以10 m/s的速度向垂直于河岸的方向行驶，则快艇在静水中的速度的大小为____m/s．
17. 作用于原点的两个力F1=(1,1)，F2=(2,3)，为使它们平衡，需加力F3=________．
三、解答题
18. 一条宽为3km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB=3km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？







19. 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g=10 m/s2)







20. 在四边形ABCD中，AB=(6,1)，BC=(x,y)，CD=(−2,−3)，BC//DA．(1)试求x与y满足的关系式；
(2)若AC⊥BD，求xy的值和四边形ABCD的面积．




21. 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，当重物平衡时，分别求两根绳子拉力的大小．









答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：如图，船速为v1，水速为v2，船的实际速度为v，
由题可知，船的实际前进方向与河岸垂直，
根据平行四边形法则和解直角三角形的知识，
可得船行驶的速度大小为|v1|2−|v2|2．
2.【答案】D
【解答】
解：如图，|F|=|G|2cos θ2．

又∵|F|=|G|，∴2cosθ2=1，∴θ=120∘，
3.【答案】B
【解答】
解：由OP=OA+12(AB+AC)
可得OP−OA=12(AB+AC)，
即AP=12(AB+AC)，
可得点P是直角三角形斜边BC的中点，因为BC=2，
所以|AP|=1，
故选B．
4.【答案】C
【解答】
解：设(−10,10)为P，5秒后P点的坐标为P1(x,y)，
则PP1=(x+10,y−10)，
由题意有PP1=5v，即(x+10,y−10)=(20,−15)，
∴x+10=20,y−10=−15, 
∴x=10,y=−5.
∴5秒后点P的坐标为(10,−5)．
5.【答案】D
【解答】
解：∵AB=a+2b，BC=−4a−b，CD=−5a−3b，
∴AD=AB+BC+CD=a+2b−4a−b−5a−3b=−8a−2b=2BC
∴四边形的一组对边AD和CD满足：AD//BC，且AD≠BC，
∴四边形ABCD为梯形，
6.【答案】C
【解答】

如图，AC表示鹰在地面上的影子的速度，AB表示鹰的飞行速度，由题意知|AC|=40m/s，且∠CAB=30°，则|AB|=8033m/s．
7.【答案】C
【解答】
解：由题意知F3=−(F1+F2)，
所以|F3|2=(F1+F2)2=F12+F22+2F1⋅F2=4+16=20，
所以|F3|=25(N)．
故选C．
8.【答案】A
【解答】
解：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)．

设AD=a，则C(1,a)，AC=(1,a)，BC=(−1,a)．
∵AC⊥BC，∴AC⊥BC，
∴AC⋅BC=−1+a2=0，∴a=1(负值舍去)，
∴AD=1．
9.【答案】A
【解答】解：f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,−5)+(3,1)=(8,0)，
设合力f的终点为P(x,y)，
则OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1)，
故选A．
10.【答案】B
【解答】
解：设v=v1+v2，则v⊥v2，
易知三向量v1，v2，v的模构成以|v1|为斜边，|v2|、|v|为直角边的直角三角形．
11.【答案】A
【解析】解：AC⋅BD=(AD+DC)(BA+AD)=AD⋅BA+AD⋅AD+DC⋅BA+DC⋅AD，
因为四边形ABCD是直角梯形，
所以AD⋅BA=0，DC⋅AD=0，
则AC⋅BD=AD⋅AD+DC⋅BA=|AD|2+|DC|⋅|BA|cos180°=4+2×1×(−1)=2，
12.【答案】A
【解析】解：如图，船在A处，AB=4，
实际航程为AC=8，
则∠BCA=30°，|vAB|=2，|vAC|=4，
所以|vBC|=23，
13.【答案】A
【解答】
解：如图，船从O点出发，沿OC方向行驶，才能垂直到达河的对岸，OA=10,|OB|=103，
则OC=OA2+OB2=20，
cos∠BOC=10320=32，
所以∠BOC=30°，

即船以20km/h的速度，向北偏西30°方向行驶，才能垂直到达对岸．
14.【答案】1503
【解答】
解：如图所示，

| v1 |=| v |cos 30°=300×32=1503(km/h)．
15.【答案】5
【解答】
解：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示．

由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|=|v0|cos60∘=10×12=5m/s，
所以该物体在水平方向上的速度是5m/s．
16.【答案】226
【解答】
解：为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．
∴静水速度v1=v2+v22=102+22=104=226m/s．
故答案为226．
17.【答案】−3,−4
【解答】
解：∵F1=(1,1)，F2=(2,3)，
∴F1+F2=1+2,1+3=3,4，
为使它们平衡，需加力F3=−F1+F2=−3,4=−3,−4，
故答案为−3,−4．
18.【答案】解：如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意，AC⊥AE.在Rt△ADE和▱ACED中，

|DE|=|AC|=2，|AD|=4，∠AED=90∘，
∴|AE|=|AD|2−|DE|2=23，3÷23=0.5(h)，sin∠EAD=12，
∴∠EAD=30∘，∴∠DAC=120∘．
∴船在水中航速为4 km/h，与水流成120∘角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5小时．
19.【答案】解：设木块的位移为s，则WF=F·s=|F| |s|cos30∘=50×20×32=5003(J).   
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30∘=50×12=35(N)，  
  所以摩擦力f的大小为|f|=(80−25)×0.02    =1.1(N)，   
因此Wf=f·s=|f||s|cos 180°  =1.1×20×(−1) =−22 (J). 
即F和f所做的功分别为5003J和−22 J．


20.【答案】解：BC=(x,y)DA=−AD=−(AB+BC+CD)=−(x+4,y−2)=(−x−4,−y+2)
(1)∵BC//DA
∴x⋅(−y+2)−y⋅(−x−4)=0，
化简得：x+2y=0；
(2)AC=AB+BC=(x+6,y+1)，
BD=BC+CD=(x−2,y−3)
∵AC⊥BD
∴(x+6)⋅(x−2)+(y+1)⋅(y−3)=0
化简有：x2+y2+4x−2y−15=0，
联立{x+2y=0x2+y2+4x−2y−15=0
解得x=−6y=3或x=2y=−1
∵BC//DAAC⊥BD
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形
当x=−6y=3AC=(0,4)   BD=(−8,0)
此时SABCD=12⋅|AC|⋅|BD|=16
当x=2y=−1AC=(8,0)   BD=(0,−4)，
此时SABCD=12⋅|AC|⋅|BD|=16．

21.【答案】解：如图，作平行四边形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，

在△OAC中，
∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
设向量OA→ ，OB 分别表示两根绳子的拉力，
则CO 表示物体的重力，且|OC→|=300 (N)．
∴|OA|=|OC|cos30∘=1503 (N)，
|OB|=|OC|cos60∘=150 (N)．
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N．
答：与铅垂线的夹角为30°的绳子拉力是1503 N，与铅垂线的夹角为60°的绳子拉力是150 N．