适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第七节抛物线课件北师大版

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1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的　距离相等　的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的　焦点　,这条定直线l叫作抛物线的　准线　. 微思考 抛物线的定义中,为什么要强调l不经过点F?提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线.
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达式为|MF|=d
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
取决于一次项变量(x或y)的取值范围
微点拨 1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程.2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可.3.过焦点且垂直于对称轴的弦叫作通径,它的长等于2p,通径是过焦点最短的弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就越小.
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)2.若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).(　　)3.抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)4.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是( ,0).(　　)
题组二　双基自测5. (2022·辽宁鞍山一模)抛物线y= x2的焦点坐标为(　　)
6. (2023·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则点P的轨迹方程为(　　)A.y2=2xB.y2=4xC.y2=-4xD.y2=-8x答案 D解析 由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(-2,0)为焦点,以直线x=2为准线的抛物线,所以p=4,点P的轨迹方程为y2=-8x.
题组(1)(2023·山东青岛二中高三检测)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.x2=-12yB.x2=12yC.y2=12xD.y2=-12x(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为(　　)A.2 B.4C.3D.5(3)(2022·辽宁大连一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,在C上有一点P,|PF|=8,则点P到x轴的距离为　　　　　　　. (4)(2022·辽宁沈阳三模)已知A,B,C三点在抛物线y= x2上,且△ABC的重心恰好为抛物线的焦点,则△ABC的三条中线的长度的和为　　　 　. 
解析 (1)设动圆圆心为M(x,y),由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以直线y=3为准线的一条抛物线,所以 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
引申探究1(变条件)本题组(2)中的点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　　. 
解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),
引申探究2(变条件变结论)在本题组(2)中,点P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是　　　　　　　　　. 答案 2解析 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0相离.由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,∴点P到直线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,
规律方法 抛物线定义的应用策略
题组(1)(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为(　　)A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x(2)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的标准方程为(　　)A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x
(3)有一个隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和抛物线构成,如图所示.为了保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7 m,若行车道总宽度为7.2 m,则车辆通过隧道时的限制高度为(　　)A.3.3 mB.3.5 mC.3.8 mD.4.5 m
答案 (1)D　(2)C　(3)C解析 (1)∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴ +2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.
(3)取抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,则C(4.8,-4.8).设抛物线方程x2=-2py(p>0),将点C代入抛物线方程得4.82=2p×4.8,解得p=2.4,∴抛物线方程为x2=-4.8y.∵行车道总宽度AB=7.2,∴将x=3.6代入抛物线方程,得3.62=-4.8y,解得y=-2.7,∴车辆通过隧道的限制高度为7.2-2.7-0.7=3.8(m).
规律方法 求抛物线的标准方程的两种常用方法
例题(多选)(2022·河北秦皇岛二模)过抛物线C:y2=2px上一点A(1,-4)作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为M,N,则(　　)A.C的准线方程是x=-4B.过C的焦点的最短弦长为8C.直线MN过定点(0,4)D.当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为2x+y-38=0答案 AD
故-16n-64m+272=0,得n=-4m+17,所以直线MN为x=m(y-4)+17,所以直线MN过定点P(17,4),故C不正确;当MN⊥AP时,点A到直线MN的距离最大,此时kAP= ,则kMN=-2,直线MN为2x+y-38=0,故D正确.故选AD.
规律方法 1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.2.要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.