适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件北师大版

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2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).
常用结论1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.(　　)2.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(　　)
题组二　双基自测5. 经过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程是　　　　　　　　　　,其圆心坐标为　　　　　　　,半径为　　　　　　　. 
答案 x2+y2-8x+6y=0　(4,-3)　5解析 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解,把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组
所以,所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.圆心坐标为(4,-3),半径为5.
6. 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
例题已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为 ,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　. 答案 (x-1)2+(y+1)2=2
解析 (方法1　几何法)∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴设所求圆的圆心为(a,-a).又所求圆与直线x-y=0相切,
规律方法 求圆的方程的两种方法
对点训练(2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　. 
例题已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)(方法1)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,即 ,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(方法2)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质,知|CD|= |AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点),所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
规律方法 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
对点训练古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点M满足 =2,则点M的轨迹方程为(　　)A.(x+4)2+y2=16B.(x-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16答案 B
考向1借助目标函数的几何意义求最值例题已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上,则x+y的最大值是　　　　　　　,最小值是　　　　　　　. 
解析 设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,则x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距.
规律方法 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
对点训练已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;
考向2利用对称性求最值例题已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
答案 A解析 由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3)(图略),所以|PC1|+|PC2|=|PC'1|+|PC2|≥|C'1C2|=5 ,即|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 -4.故选A.
规律方法 形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　　　. 
考向3建立函数关系式求最值例题(多选)(2023·湖南永州高三检测)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m可能的取值为(　　)A.7B.6C.5D.4
规律方法 建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.