第9章 平面解析几何 第3节 圆的方程 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(x0-a)2+(y0-b)20)的位置关系:
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.确定圆的几何要素是圆心和半径.(　　)2.方程(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示圆心为(2,-1),半径为a的圆.(　　)
4.点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.(　　)
题组二 回源教材5.(人教A版选择性必修第一册2.4.2节练习第1题改编)已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、圆的半径分别是(　　)A.(2,-1),3B.(-2,1),3C.(-2,-1),3D.(2,-1),9
解析 x2+y2-4x+2y-4=0变形为(x-2)2+(y+1)2=9,故圆心为(2,-1),半径为3.
6.(人教B版选择性必修第一册练习A第3题改编)点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2 =2的位置关系是(　　)A.点在圆外B.点在圆上C.点在圆内D.与a的值有关
7.(人教A版选择性必修第一册习题2.4第2(1)题改编)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆的标准方程是______________________________. 
(x-8)2+(y+3)2=25
题组三 连线高考8.(2022·北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
9.(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为______________________________. 
(x-1)2+(y+1)2=5
解析 (方法1)设A(3,0),B(0,1),
即圆心M的坐标为(1,-1).设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(x-1)2+(y+1)2=2
解析 (方法1　几何法)∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴设所求圆的圆心为(a,-a).又所求圆与直线x-y=0相切,
[对点训练1](2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为______________________________. 
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)(方法1)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,
解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).
考点三 与圆有关的最值问题
(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,直线在y轴上的截距b取得最大值或最小值,
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,
[对点训练3](2023·全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
解析 由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,